Основы мат. анализа Примеры

$- 1$

Этап 1

Это тригонометрическая форма комплексного числа, где $| z |$ — модуль, а $θ$ — угол радиус-вектора на комплексной плоскости.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Этап 2

Модуль комплексного числа ― это расстояние от начала координат на комплексной плоскости.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ , где $z = a + b i$

Этап 3

Подставим фактические значения $a = - 1$ и $b = 0$ .

$| z | = \sqrt{0^{2} + {(- 1)}^{2}}$

Этап 4

Найдем $| z |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$| z | = \sqrt{0 + {(- 1)}^{2}}$

Этап 4.2

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$| z | = \sqrt{0 + 1}$

Этап 4.3

Добавим $0$ и $1$ .

$| z | = \sqrt{1}$

Этап 4.4

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$| z | = 1$

Этап 5

Угол точки на комплексной плоскости равен обратному тангенсу мнимой части, поделенной на вещественную часть.

$θ = \arctan (\frac{0}{- 1})$

Этап 6

Поскольку обратный тангенс $\frac{0}{- 1}$ дает угол во втором квадранте, значение угла равно $π$ .

$θ = π$

Этап 7

Подставим значения $θ = π$ и $| z | = 1$ .

$\cos (π) + i \sin (π)$