Основы мат. анализа Примеры

$3$

Этап 1

Это тригонометрическая форма комплексного числа, где $| z |$ — модуль, а $θ$ — угол радиус-вектора на комплексной плоскости.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Этап 2

Модуль комплексного числа ― это расстояние от начала координат на комплексной плоскости.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ , где $z = a + b i$

Этап 3

Подставим фактические значения $a = 3$ и $b = 0$ .

$| z | = \sqrt{0^{2} + 3^{2}}$

Этап 4

Найдем $| z |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$| z | = \sqrt{0 + 3^{2}}$

Этап 4.2

Возведем $3$ в степень $2$ .

$| z | = \sqrt{0 + 9}$

Этап 4.3

Добавим $0$ и $9$ .

$| z | = \sqrt{9}$

Этап 4.4

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$| z | = \sqrt{3^{2}}$

Этап 4.5

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$| z | = 3$

Этап 5

Угол точки на комплексной плоскости равен обратному тангенсу мнимой части, поделенной на вещественную часть.

$θ = \arctan (\frac{0}{3})$

Этап 6

Поскольку обратный тангенс $\frac{0}{3}$ дает угол в первом квадранте, значение угла равно $0$ .

$θ = 0$

Этап 7

Подставим значения $θ = 0$ и $| z | = 3$ .

$3 (\cos (0) + i \sin (0))$