Основы мат. анализа Примеры

$(- \sqrt{2}, - \sqrt{6})$

Этап 1

Преобразуем $(x, y)$ из прямоугольных координат в полярные $(r, θ)$ , используя формулы перевода.

$r = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 2

Заменим $x$ и $y$ фактическими значениями.

$r = \sqrt{{(- \sqrt{2})}^{2} + {(- \sqrt{6})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 3

Найдем абсолютную величину полярной координаты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Применим правило умножения к $- \sqrt{2}$ .

$r = \sqrt{{(- 1)}^{2} {\sqrt{2}}^{2} + {(- \sqrt{6})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 3.1.2

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$r = \sqrt{1 {\sqrt{2}}^{2} + {(- \sqrt{6})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 3.1.3

Умножим ${\sqrt{2}}^{2}$ на $1$ .

$r = \sqrt{{\sqrt{2}}^{2} + {(- \sqrt{6})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{{\sqrt{2}}^{2} + {(- \sqrt{6})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 3.2

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$r = \sqrt{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(- \sqrt{6})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 3.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$r = \sqrt{2^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(- \sqrt{6})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 3.2.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$r = \sqrt{2^{\frac{2}{2}} + {(- \sqrt{6})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 3.2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.1

Сократим общий множитель.

$r = \sqrt{2^{\frac{2}{2}} + {(- \sqrt{6})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 3.2.4.2

Перепишем это выражение.

$r = \sqrt{2 + {(- \sqrt{6})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{2 + {(- \sqrt{6})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 3.2.5

Найдем экспоненту.

$r = \sqrt{2 + {(- \sqrt{6})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{2 + {(- \sqrt{6})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 3.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Применим правило умножения к $- \sqrt{6}$ .

$r = \sqrt{2 + {(- 1)}^{2} {\sqrt{6}}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 3.3.2

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$r = \sqrt{2 + 1 {\sqrt{6}}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 3.3.3

Умножим ${\sqrt{6}}^{2}$ на $1$ .

$r = \sqrt{2 + {\sqrt{6}}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{2 + {\sqrt{6}}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 3.4

Перепишем ${\sqrt{6}}^{2}$ в виде $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{6}$ в виде $6^{\frac{1}{2}}$ .

$r = \sqrt{2 + {(6^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 3.4.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$r = \sqrt{2 + 6^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 3.4.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$r = \sqrt{2 + 6^{\frac{2}{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 3.4.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.1

Сократим общий множитель.

$r = \sqrt{2 + 6^{\frac{2}{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 3.4.4.2

Перепишем это выражение.

$r = \sqrt{2 + 6}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{2 + 6}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 3.4.5

Найдем экспоненту.

$r = \sqrt{2 + 6}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{2 + 6}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 3.5

Добавим $2$ и $6$ .

$r = \sqrt{8}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 3.6

Перепишем $8$ в виде $2^{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$r = \sqrt{4 (2)}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 3.6.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$r = \sqrt{2^{2} \cdot 2}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{2^{2} \cdot 2}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 3.7

Вынесем члены из-под знака корня.

$r = 2 \sqrt{2}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = 2 \sqrt{2}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 4

Заменим $x$ и $y$ фактическими значениями.

$r = 2 \sqrt{2}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{- \sqrt{6}}{- \sqrt{2}})$

Этап 5

Обратная функция тангенса $\sqrt{3}$ равна $θ = 240 °$ .

$r = 2 \sqrt{2}$

$θ = 240 °$

Этап 6

Это результат преобразования в полярные координаты в виде $(r, θ)$ .

$(2 \sqrt{2}, 240 °)$