Основы мат. анализа Примеры

$(\cos^{2} (x) - 1) (\tan^{2} (x) + 1) = 1 - \sec^{2} (x)$

Этап 1

Начнем с левой части.

$(\cos^{2} (x) - 1) (\tan^{2} (x) + 1)$

Этап 2

Применим формулу Пифагора.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Изменим порядок $\cos^{2} (x)$ и $- 1$ .

$(- 1 + \cos^{2} (x)) (\tan^{2} (x) + 1)$

Этап 2.2

Перепишем $- 1$ в виде $- 1 (1)$ .

$(- 1 (1) + \cos^{2} (x)) (\tan^{2} (x) + 1)$

Этап 2.3

Вынесем множитель $- 1$ из $\cos^{2} (x)$ .

$(- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (x))) (\tan^{2} (x) + 1)$

Этап 2.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (x))$ .

$- 1 (1 - \cos^{2} (x)) (\tan^{2} (x) + 1)$

Этап 2.5

Перепишем $- 1 (1 - \cos^{2} (x))$ в виде $- (1 - \cos^{2} (x))$ .

$- (1 - \cos^{2} (x)) (\tan^{2} (x) + 1)$

Этап 2.6

Применим формулу Пифагора.

$- \sin^{2} (x) (\tan^{2} (x) + 1)$

Этап 2.7

Применим формулу Пифагора.

$- \sin^{2} (x) \sec^{2} (x)$

Этап 3

Применим формулу Пифагора в обратном направлении.

$- (1 - \cos^{2} (x)) \sec^{2} (x)$

Этап 4

Преобразуем к синусам и косинусам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Применим взаимно обратное тождество к $\sec (x)$ .

$- (1 - \cos^{2} (x)) {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$

Этап 4.2

Применим правило умножения к $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$- (1 - \cos^{2} (x)) \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Единица в любой степени равна единице.

$- (1 - {\cos (x)}^{2}) \frac{1}{{\cos (x)}^{2}}$

Этап 5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$(- 1 \cdot 1 - - {\cos (x)}^{2}) \frac{1}{{\cos (x)}^{2}}$

Этап 5.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$(- 1 - - {\cos (x)}^{2}) \frac{1}{{\cos (x)}^{2}}$

Этап 5.4

Умножим $- - {\cos (x)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$(- 1 + 1 {\cos (x)}^{2}) \frac{1}{{\cos (x)}^{2}}$

Этап 5.4.2

Умножим ${\cos (x)}^{2}$ на $1$ .

$(- 1 + {\cos (x)}^{2}) \frac{1}{{\cos (x)}^{2}}$

Этап 5.5

Применим свойство дистрибутивности.

$- 1 \frac{1}{{\cos (x)}^{2}} + {\cos (x)}^{2} \frac{1}{{\cos (x)}^{2}}$

Этап 5.6

Перепишем $- 1 \frac{1}{{\cos (x)}^{2}}$ в виде $- \frac{1}{{\cos (x)}^{2}}$ .

$- \frac{1}{{\cos (x)}^{2}} + {\cos (x)}^{2} \frac{1}{{\cos (x)}^{2}}$

Этап 5.7

Сократим общий множитель ${\cos (x)}^{2}$ .

$- \frac{1}{\cos^{2} (x)} + 1$

Этап 6

Изменим порядок членов.

$1 - \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Этап 7

Перепишем $1 - \frac{1}{\cos^{2} (x)}$ в виде $1 - \sec^{2} (x)$ .

$1 - \sec^{2} (x)$

Этап 8

Поскольку была показана эквивалентность обеих сторон, уравнение является тождеством.

$(\cos^{2} (x) - 1) (\tan^{2} (x) + 1) = 1 - \sec^{2} (x)$ — тождество