Основы мат. анализа Примеры

$\frac{1}{1 - \cos (θ)} - \frac{1}{1 + \cos (θ)} = 2 \cot (θ) \csc (θ)$

Этап 1

Начнем с левой части.

$\frac{1}{1 - \cos (θ)} - \frac{1}{1 + \cos (θ)}$

Этап 2

Вычтем дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы записать $\frac{1}{1 - \cos (θ)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{1 + \cos (θ)}{1 + \cos (θ)}$ .

$\frac{1}{1 - \cos (θ)} \cdot \frac{1 + \cos (θ)}{1 + \cos (θ)} - \frac{1}{1 + \cos (θ)}$

Этап 2.2

Чтобы записать $- \frac{1}{1 + \cos (θ)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{1 - \cos (θ)}{1 - \cos (θ)}$ .

$\frac{1}{1 - \cos (θ)} \cdot \frac{1 + \cos (θ)}{1 + \cos (θ)} - \frac{1}{1 + \cos (θ)} \cdot \frac{1 - \cos (θ)}{1 - \cos (θ)}$

Этап 2.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(1 - \cos (θ)) (1 + \cos (θ))$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Умножим $\frac{1}{1 - \cos (θ)}$ на $\frac{1 + \cos (θ)}{1 + \cos (θ)}$ .

$\frac{1 + \cos (θ)}{(1 - \cos (θ)) (1 + \cos (θ))} - \frac{1}{1 + \cos (θ)} \cdot \frac{1 - \cos (θ)}{1 - \cos (θ)}$

Этап 2.3.2

Умножим $\frac{1}{1 + \cos (θ)}$ на $\frac{1 - \cos (θ)}{1 - \cos (θ)}$ .

$\frac{1 + \cos (θ)}{(1 - \cos (θ)) (1 + \cos (θ))} - \frac{1 - \cos (θ)}{(1 + \cos (θ)) (1 - \cos (θ))}$

Этап 2.3.3

Изменим порядок множителей в $(1 - \cos (θ)) (1 + \cos (θ))$ .

$\frac{1 + \cos (θ)}{(1 + \cos (θ)) (1 - \cos (θ))} - \frac{1 - \cos (θ)}{(1 + \cos (θ)) (1 - \cos (θ))}$

Этап 2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1 + \cos (θ) - (1 - \cos (θ))}{(1 + \cos (θ)) (1 - \cos (θ))}$

Этап 3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1 + \cos (θ) - 1 \cdot 1 - - \cos (θ)}{(1 + \cos (θ)) (1 - \cos (θ))}$

Этап 3.1.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1 + \cos (θ) - 1 - - \cos (θ)}{(1 + \cos (θ)) (1 - \cos (θ))}$

Этап 3.1.3

Умножим $- - \cos (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{1 + \cos (θ) - 1 + 1 \cos (θ)}{(1 + \cos (θ)) (1 - \cos (θ))}$

Этап 3.1.3.2

Умножим $\cos (θ)$ на $1$ .

$\frac{1 + \cos (θ) - 1 + \cos (θ)}{(1 + \cos (θ)) (1 - \cos (θ))}$

Этап 3.2

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{0 + \cos (θ) + \cos (θ)}{(1 + \cos (θ)) (1 - \cos (θ))}$

Этап 3.3

Добавим $0$ и $\cos (θ)$ .

$\frac{\cos (θ) + \cos (θ)}{(1 + \cos (θ)) (1 - \cos (θ))}$

Этап 3.4

Добавим $\cos (θ)$ и $\cos (θ)$ .

$\frac{2 \cos (θ)}{(1 + \cos (θ)) (1 - \cos (θ))}$

Этап 4

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Развернем $(1 + \cos (θ)) (1 - \cos (θ))$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 \cos (θ)}{1 (1 - \cos (θ)) + \cos (θ) (1 - \cos (θ))}$

Этап 4.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 \cos (θ)}{1 \cdot 1 + 1 (- \cos (θ)) + \cos (θ) (1 - \cos (θ))}$

Этап 4.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 \cos (θ)}{1 \cdot 1 + 1 (- \cos (θ)) + \cos (θ) \cdot 1 + \cos (θ) (- \cos (θ))}$

Этап 4.2

Упростим и объединим подобные члены.

$\frac{2 \cos (θ)}{1 - \cos^{2} (θ)}$

Этап 5

Применим формулу Пифагора.

$\frac{2 \cos (θ)}{\sin^{2} (θ)}$

Этап 6

Перепишем $\frac{2 \cos (θ)}{\sin^{2} (θ)}$ в виде $2 \cot (θ) \csc (θ)$ .

$2 \cot (θ) \csc (θ)$

Этап 7

Поскольку была показана эквивалентность обеих сторон, уравнение является тождеством.

$\frac{1}{1 - \cos (θ)} - \frac{1}{1 + \cos (θ)} = 2 \cot (θ) \csc (θ)$ — тождество