Основы мат. анализа Примеры

$y^{2} - 4 y + 4 x + 4 = 0$

Этап 1

Перепишем уравнение в форме с выделенной вершиной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Изолируем $x$ в левой части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

Вычтем $y^{2}$ из обеих частей уравнения.

$- 4 y + 4 x + 4 = - y^{2}$

Этап 1.1.1.2

Добавим $4 y$ к обеим частям уравнения.

$4 x + 4 = - y^{2} + 4 y$

Этап 1.1.1.3

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$4 x = - y^{2} + 4 y - 4$

Этап 1.1.2

Разделим каждый член $4 x = - y^{2} + 4 y - 4$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Разделим каждый член $4 x = - y^{2} + 4 y - 4$ на $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{- y^{2}}{4} + \frac{4 y}{4} + \frac{- 4}{4}$

Этап 1.1.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 x}{4} = \frac{- y^{2}}{4} + \frac{4 y}{4} + \frac{- 4}{4}$

Этап 1.1.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- y^{2}}{4} + \frac{4 y}{4} + \frac{- 4}{4}$

Этап 1.1.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{y^{2}}{4} + \frac{4 y}{4} + \frac{- 4}{4}$

Этап 1.1.2.3.1.2

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1.2.1

Сократим общий множитель.

$x = - \frac{y^{2}}{4} + \frac{4 y}{4} + \frac{- 4}{4}$

Этап 1.1.2.3.1.2.2

Разделим $y$ на $1$ .

$x = - \frac{y^{2}}{4} + y + \frac{- 4}{4}$

Этап 1.1.2.3.1.3

Разделим $- 4$ на $4$ .

$x = - \frac{y^{2}}{4} + y - 1$

Этап 1.2

Составим полный квадрат для $- \frac{y^{2}}{4} + y - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = - \frac{1}{4}$

$b = 1$

$c = - 1$

Этап 1.2.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 1.2.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{1}{2 (- \frac{1}{4})}$

Этап 1.2.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1

Сократим общий множитель $1$ и $- 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1.1

Перепишем $1$ в виде $- 1 (- 1)$ .

$d = \frac{- 1 (- 1)}{2 (- \frac{1}{4})}$

Этап 1.2.3.2.1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$d = - \frac{1}{2 (\frac{1}{4})}$

Этап 1.2.3.2.2

Объединим $2$ и $\frac{1}{4}$ .

$d = - \frac{1}{\frac{2}{4}}$

Этап 1.2.3.2.3

Сократим общий множитель $2$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.3.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$d = - \frac{1}{\frac{2 (1)}{4}}$

Этап 1.2.3.2.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$d = - \frac{1}{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Этап 1.2.3.2.3.2.2

Сократим общий множитель.

$d = - \frac{1}{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Этап 1.2.3.2.3.2.3

Перепишем это выражение.

$d = - \frac{1}{\frac{1}{2}}$

Этап 1.2.3.2.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$d = - (1 \cdot 2)$

Этап 1.2.3.2.5

Умножим $- (1 \cdot 2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.5.1

Умножим $2$ на $1$ .

$d = - 1 \cdot 2$

Этап 1.2.3.2.5.2

Умножим $- 1$ на $2$ .

$d = - 2$

Этап 1.2.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - 1 - \frac{1^{2}}{4 (- \frac{1}{4})}$

Этап 1.2.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$e = - 1 - \frac{1}{4 (- \frac{1}{4})}$

Этап 1.2.4.2.1.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1.2.1

Умножим $- 1$ на $4$ .

$e = - 1 - \frac{1}{- 4 (\frac{1}{4})}$

Этап 1.2.4.2.1.2.2

Объединим $- 4$ и $\frac{1}{4}$ .

$e = - 1 - \frac{1}{\frac{- 4}{4}}$

Этап 1.2.4.2.1.3

Разделим $- 4$ на $4$ .

$e = - 1 - \frac{1}{- 1}$

Этап 1.2.4.2.1.4

Разделим $1$ на $- 1$ .

$e = - 1 - - 1$

Этап 1.2.4.2.1.5

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$e = - 1 + 1$

Этап 1.2.4.2.2

Добавим $- 1$ и $1$ .

$e = 0$

Этап 1.2.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной $- \frac{1}{4} {(y - 2)}^{2} + 0$ .

$- \frac{1}{4} {(y - 2)}^{2} + 0$

Этап 1.3

Приравняем $x$ к новой правой части.

$x = - \frac{1}{4} \cdot {(y - 2)}^{2} + 0$

Этап 2

Воспользуемся формой с выделенной вершиной $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , чтобы определить значения $a$ , $h$ и $k$ .

$a = - \frac{1}{4}$

$h = 0$

$k = 2$

Этап 3

Найдем вершину $(h, k)$ .

$(0, 2)$

Этап 4

Найдем $p$ , расстояние от вершины до фокуса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем расстояние от вершины до фокуса параболы, используя следующую формулу.

$\frac{1}{4 a}$

Этап 4.2

Подставим значение $a$ в формулу.

$\frac{1}{4 \cdot (- \frac{1}{4})}$

Этап 4.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Сократим общий множитель $1$ и $- 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1

Перепишем $1$ в виде $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot (- \frac{1}{4})}$

Этап 4.3.1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{4 (\frac{1}{4})}$

Этап 4.3.2

Объединим $4$ и $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{1}{\frac{4}{4}}$

Этап 4.3.3

Разделим $4$ на $4$ .

$- \frac{1}{1}$

Этап 4.3.4

Сократим общий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.1

Сократим общий множитель.

$- \frac{1}{1}$

Этап 4.3.4.2

Перепишем это выражение.

$- 1 \cdot 1$

Этап 4.3.5

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- 1$

Этап 5

Найдем направляющую.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Директриса параболы ― это вертикальная прямая, которую можно найти вычитанием $p$ из x-координаты вершины $h$ , если ветви параболы направлены влево или вправо.

$x = h - p$

Этап 5.2

Подставим известные значения $p$ и $h$ в формулу и упростим.

$x = 1$

Этап 6