Основы мат. анализа Примеры

$x^{2} + y^{2} + 4 x + 6 y - 12 = 0$

Этап 1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 2

Подставим значения $a = 1$ , $b = 6$ и $c = x^{2} + 4 x - 12$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $y$ .

$\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (x^{2} + 4 x - 12))}}{2 \cdot 1}$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Возведем $6$ в степень $2$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 4 x - 12)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.1.2

Умножим $- 4$ на $1$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot (x^{2} + 4 x - 12)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 x^{2} - 4 (4 x) - 4 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.4.1

Умножим $4$ на $- 4$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 x^{2} - 16 x - 4 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.1.4.2

Умножим $- 4$ на $- 12$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 x^{2} - 16 x + 48}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.1.5

Добавим $36$ и $48$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{- 4 x^{2} - 16 x + 84}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.1.6

Перепишем $- 4 x^{2} - 16 x + 84$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.6.1

Вынесем множитель $4$ из $- 4 x^{2} - 16 x + 84$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.6.1.1

Вынесем множитель $4$ из $- 4 x^{2}$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{4 (- x^{2}) - 16 x + 84}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.1.6.1.2

Вынесем множитель $4$ из $- 16 x$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{4 (- x^{2}) + 4 (- 4 x) + 84}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.1.6.1.3

Вынесем множитель $4$ из $84$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{4 (- x^{2}) + 4 (- 4 x) + 4 (21)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.1.6.1.4

Вынесем множитель $4$ из $4 (- x^{2}) + 4 (- 4 x)$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{4 (- x^{2} - 4 x) + 4 (21)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.1.6.1.5

Вынесем множитель $4$ из $4 (- x^{2} - 4 x) + 4 (21)$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{4 (- x^{2} - 4 x + 21)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.1.6.2

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.6.2.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = - 1 \cdot 21 = - 21$ , а сумма — $b = - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.6.2.1.1

Вынесем множитель $- 4$ из $- 4 x$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{4 (- x^{2} - 4 x + 21)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.1.6.2.1.2

Запишем $- 4$ как $3$ плюс $- 7$

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{4 (- x^{2} + (3 - 7) x + 21)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.1.6.2.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{4 (- x^{2} + 3 x - 7 x + 21)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.1.6.2.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.6.2.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{4 ((- x^{2} + 3 x) - 7 x + 21)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.1.6.2.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{4 (x (- x + 3) + 7 (- x + 3))}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.1.6.2.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $- x + 3$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{4 ((- x + 3) (x + 7))}}{2 \cdot 1}$

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{4 (- x + 3) (x + 7)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.1.7

Перепишем $4 (- x + 3) (x + 7)$ в виде $2^{2} ((- x + 3) (x + 7))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.7.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{2^{2} (- x + 3) (x + 7)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.1.7.2

Добавим круглые скобки.

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{2^{2} ((- x + 3) (x + 7))}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.1.8

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = \frac{- 6 \pm 2 \sqrt{(- x + 3) (x + 7)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.2

Умножим $2$ на $1$ .

$y = \frac{- 6 \pm 2 \sqrt{(- x + 3) (x + 7)}}{2}$

Этап 3.3

Упростим $\frac{- 6 \pm 2 \sqrt{(- x + 3) (x + 7)}}{2}$ .

$y = - 3 \pm \sqrt{(- x + 3) (x + 7)}$

Этап 4

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Возведем $6$ в степень $2$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 4 x - 12)}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.1.2

Умножим $- 4$ на $1$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot (x^{2} + 4 x - 12)}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 x^{2} - 4 (4 x) - 4 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.1

Умножим $4$ на $- 4$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 x^{2} - 16 x - 4 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.1.4.2

Умножим $- 4$ на $- 12$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 x^{2} - 16 x + 48}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.1.5

Добавим $36$ и $48$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{- 4 x^{2} - 16 x + 84}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.1.6

Перепишем $- 4 x^{2} - 16 x + 84$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.6.1

Вынесем множитель $4$ из $- 4 x^{2} - 16 x + 84$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.6.1.1

Вынесем множитель $4$ из $- 4 x^{2}$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{4 (- x^{2}) - 16 x + 84}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.1.6.1.2

Вынесем множитель $4$ из $- 16 x$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{4 (- x^{2}) + 4 (- 4 x) + 84}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.1.6.1.3

Вынесем множитель $4$ из $84$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{4 (- x^{2}) + 4 (- 4 x) + 4 (21)}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.1.6.1.4

Вынесем множитель $4$ из $4 (- x^{2}) + 4 (- 4 x)$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{4 (- x^{2} - 4 x) + 4 (21)}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.1.6.1.5

Вынесем множитель $4$ из $4 (- x^{2} - 4 x) + 4 (21)$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{4 (- x^{2} - 4 x + 21)}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.1.6.2

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.6.2.1

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.6.2.1.1

Вынесем множитель $- 4$ из $- 4 x$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{4 (- x^{2} - 4 x + 21)}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.1.6.2.1.2

Запишем $- 4$ как $3$ плюс $- 7$

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{4 (- x^{2} + (3 - 7) x + 21)}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.1.6.2.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{4 (- x^{2} + 3 x - 7 x + 21)}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.1.6.2.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.6.2.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{4 ((- x^{2} + 3 x) - 7 x + 21)}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.1.6.2.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{4 (x (- x + 3) + 7 (- x + 3))}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.1.6.2.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $- x + 3$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{4 ((- x + 3) (x + 7))}}{2 \cdot 1}$

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{4 (- x + 3) (x + 7)}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.1.7

Перепишем $4 (- x + 3) (x + 7)$ в виде $2^{2} ((- x + 3) (x + 7))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.7.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{2^{2} (- x + 3) (x + 7)}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.1.7.2

Добавим круглые скобки.

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{2^{2} ((- x + 3) (x + 7))}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.1.8

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = \frac{- 6 \pm 2 \sqrt{(- x + 3) (x + 7)}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.2

Умножим $2$ на $1$ .

$y = \frac{- 6 \pm 2 \sqrt{(- x + 3) (x + 7)}}{2}$

Этап 4.3

Упростим $\frac{- 6 \pm 2 \sqrt{(- x + 3) (x + 7)}}{2}$ .

$y = - 3 \pm \sqrt{(- x + 3) (x + 7)}$

Этап 4.4

Заменим $\pm$ на $+$ .

$y = - 3 + \sqrt{(- x + 3) (x + 7)}$

Этап 5

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Возведем $6$ в степень $2$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 4 x - 12)}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.1.2

Умножим $- 4$ на $1$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot (x^{2} + 4 x - 12)}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 x^{2} - 4 (4 x) - 4 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.4.1

Умножим $4$ на $- 4$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 x^{2} - 16 x - 4 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.1.4.2

Умножим $- 4$ на $- 12$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 x^{2} - 16 x + 48}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.1.5

Добавим $36$ и $48$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{- 4 x^{2} - 16 x + 84}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.1.6

Перепишем $- 4 x^{2} - 16 x + 84$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.6.1

Вынесем множитель $4$ из $- 4 x^{2} - 16 x + 84$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.6.1.1

Вынесем множитель $4$ из $- 4 x^{2}$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{4 (- x^{2}) - 16 x + 84}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.1.6.1.2

Вынесем множитель $4$ из $- 16 x$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{4 (- x^{2}) + 4 (- 4 x) + 84}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.1.6.1.3

Вынесем множитель $4$ из $84$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{4 (- x^{2}) + 4 (- 4 x) + 4 (21)}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.1.6.1.4

Вынесем множитель $4$ из $4 (- x^{2}) + 4 (- 4 x)$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{4 (- x^{2} - 4 x) + 4 (21)}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.1.6.1.5

Вынесем множитель $4$ из $4 (- x^{2} - 4 x) + 4 (21)$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{4 (- x^{2} - 4 x + 21)}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.1.6.2

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.6.2.1

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.6.2.1.1

Вынесем множитель $- 4$ из $- 4 x$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{4 (- x^{2} - 4 x + 21)}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.1.6.2.1.2

Запишем $- 4$ как $3$ плюс $- 7$

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{4 (- x^{2} + (3 - 7) x + 21)}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.1.6.2.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{4 (- x^{2} + 3 x - 7 x + 21)}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.1.6.2.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.6.2.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{4 ((- x^{2} + 3 x) - 7 x + 21)}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.1.6.2.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{4 (x (- x + 3) + 7 (- x + 3))}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.1.6.2.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $- x + 3$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{4 ((- x + 3) (x + 7))}}{2 \cdot 1}$

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{4 (- x + 3) (x + 7)}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.1.7

Перепишем $4 (- x + 3) (x + 7)$ в виде $2^{2} ((- x + 3) (x + 7))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.7.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{2^{2} (- x + 3) (x + 7)}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.1.7.2

Добавим круглые скобки.

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{2^{2} ((- x + 3) (x + 7))}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.1.8

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = \frac{- 6 \pm 2 \sqrt{(- x + 3) (x + 7)}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.2

Умножим $2$ на $1$ .

$y = \frac{- 6 \pm 2 \sqrt{(- x + 3) (x + 7)}}{2}$

Этап 5.3

Упростим $\frac{- 6 \pm 2 \sqrt{(- x + 3) (x + 7)}}{2}$ .

$y = - 3 \pm \sqrt{(- x + 3) (x + 7)}$

Этап 5.4

Заменим $\pm$ на $-$ .

$y = - 3 - \sqrt{(- x + 3) (x + 7)}$

Этап 6

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$y = - 3 + \sqrt{(- x + 3) (x + 7)}$

$y = - 3 - \sqrt{(- x + 3) (x + 7)}$

Этап 7

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{(- x + 3) (x + 7)}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$(- x + 3) (x + 7) \geq 0$

Этап 8

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$- x + 3 = 0$

$x + 7 = 0$

Этап 8.2

Приравняем $- x + 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Приравняем $- x + 3$ к $0$ .

$- x + 3 = 0$

Этап 8.2.2

Решим $- x + 3 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$- x = - 3$

Этап 8.2.2.2

Разделим каждый член $- x = - 3$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.2.1

Разделим каждый член $- x = - 3$ на $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 3}{- 1}$

Этап 8.2.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} = \frac{- 3}{- 1}$

Этап 8.2.2.2.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 3}{- 1}$

Этап 8.2.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.2.3.1

Разделим $- 3$ на $- 1$ .

$x = 3$

Этап 8.3

Приравняем $x + 7$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Приравняем $x + 7$ к $0$ .

$x + 7 = 0$

Этап 8.3.2

Вычтем $7$ из обеих частей уравнения.

$x = - 7$

Этап 8.4

Окончательным решением являются все значения, при которых $(- x + 3) (x + 7) \geq 0$ верно.

$x = 3, - 7$

Этап 8.5

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - 7$

$- 7 < x < 3$

$x > 3$

Этап 8.6

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.6.1

Проверим значение на интервале $x < - 7$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.6.1.1

Выберем значение на интервале $x < - 7$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 10$

Этап 8.6.1.2

Заменим $x$ на $- 10$ в исходном неравенстве.

$(- (- 10) + 3) ((- 10) + 7) \geq 0$

Этап 8.6.1.3

Левая часть $- 39$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 8.6.2

Проверим значение на интервале $- 7 < x < 3$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.6.2.1

Выберем значение на интервале $- 7 < x < 3$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 8.6.2.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$(- (0) + 3) ((0) + 7) \geq 0$

Этап 8.6.2.3

Левая часть $21$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 8.6.3

Проверим значение на интервале $x > 3$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.6.3.1

Выберем значение на интервале $x > 3$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 6$

Этап 8.6.3.2

Заменим $x$ на $6$ в исходном неравенстве.

$(- (6) + 3) ((6) + 7) \geq 0$

Этап 8.6.3.3

Левая часть $- 39$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 8.6.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - 7$ Ложь

$- 7 < x < 3$ Истина

$x > 3$ Ложь

$x < - 7$ Ложь

$- 7 < x < 3$ Истина

$x > 3$ Ложь

Этап 8.7

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$- 7 \leq x \leq 3$

Этап 9

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$[- 7, 3]$

Обозначение построения множества:

${x | - 7 \leq x \leq 3}$

Этап 10

Множество значений ― это множество всех допустимых значений $y$ . Используем график, чтобы найти множество значений.

Интервальное представление:

$[- 8, 2]$

Обозначение построения множества:

${y | - 8 \leq y \leq 2}$

Этап 11

Определим область определения и множество значений.

Область определения: $[- 7, 3], {x | - 7 \leq x \leq 3}$

Диапазон: $[- 8, 2], {y | - 8 \leq y \leq 2}$

Этап 12