Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = 2 x^{2} - 7$

Этап 1

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 7$

$q = \pm 1, \pm 2$

Этап 1.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm 7, \pm \frac{7}{2}$

Этап 2

Применим схему Горнера к $\frac{2 x^{2} - 7}{x - 7}$ при $x = 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поместим числа, представляющие делитель и делимое, в конфигурацию для деления.

$7$	$2$	$0$	$- 7$

Этап 2.2

Первое число в делимом $(2)$ помещается в первую позицию области результата (ниже горизонтальной линии).

$7$	$2$	$0$	$- 7$

	$2$

Этап 2.3

Умножим последний элемент в области результата $(2)$ на делитель $(7)$ и запишем их произведение $(14)$ под следующим членом делимого $(0)$ .

$7$	$2$	$0$	$- 7$
		$14$
	$2$

Этап 2.4

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$7$	$2$	$0$	$- 7$
		$14$
	$2$	$14$

Этап 2.5

Умножим последний элемент в области результата $(14)$ на делитель $(7)$ и запишем их произведение $(98)$ под следующим членом делимого $(- 7)$ .

$7$	$2$	$0$	$- 7$
		$14$	$98$
	$2$	$14$

Этап 2.6

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$7$	$2$	$0$	$- 7$
		$14$	$98$
	$2$	$14$	$91$

Этап 2.7

Все числа, кроме последнего, становятся коэффициентами фактор-многочлена. Последнее значение в строке результатов — это остаток.

$(2) x + 14 + \frac{91}{x - 7}$

Этап 2.8

Упростим частное многочленов.

$2 x + 14 + \frac{91}{x - 7}$

Этап 3

Поскольку $7 > 0$ и все знаки в нижней строке схемы Горнера являются положительными, $7$ является верхней границей вещественных корней функции.

Верхняя граница: $7$

Этап 4

Применим схему Горнера к $\frac{2 x^{2} - 7}{x + 7}$ при $x = - 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Поместим числа, представляющие делитель и делимое, в конфигурацию для деления.

$- 7$	$2$	$0$	$- 7$

Этап 4.2

Первое число в делимом $(2)$ помещается в первую позицию области результата (ниже горизонтальной линии).

$- 7$	$2$	$0$	$- 7$

	$2$

Этап 4.3

Умножим последний элемент в области результата $(2)$ на делитель $(- 7)$ и запишем их произведение $(- 14)$ под следующим членом делимого $(0)$ .

$- 7$	$2$	$0$	$- 7$
		$- 14$
	$2$

Этап 4.4

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$- 7$	$2$	$0$	$- 7$
		$- 14$
	$2$	$- 14$

Этап 4.5

Умножим последний элемент в области результата $(- 14)$ на делитель $(- 7)$ и запишем их произведение $(98)$ под следующим членом делимого $(- 7)$ .

$- 7$	$2$	$0$	$- 7$
		$- 14$	$98$
	$2$	$- 14$

Этап 4.6

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$- 7$	$2$	$0$	$- 7$
		$- 14$	$98$
	$2$	$- 14$	$91$

Этап 4.7

$(2) x - 14 + \frac{91}{x + 7}$

Этап 4.8

Упростим частное многочленов.

$2 x - 14 + \frac{91}{x + 7}$

Этап 5

Поскольку $- 7 < 0$ и знаки в нижней строке схемы Горнера меняются, $- 7$ является нижней границей вещественных корней функции.

Нижняя граница: $- 7$

Этап 6

Применим схему Горнера к $\frac{2 x^{2} - 7}{x - \frac{7}{2}}$ при $x = \frac{7}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Поместим числа, представляющие делитель и делимое, в конфигурацию для деления.

$\frac{7}{2}$	$2$	$0$	$- 7$

Этап 6.2

Первое число в делимом $(2)$ помещается в первую позицию области результата (ниже горизонтальной линии).

$\frac{7}{2}$	$2$	$0$	$- 7$

	$2$

Этап 6.3

Умножим последний элемент в области результата $(2)$ на делитель $(\frac{7}{2})$ и запишем их произведение $(7)$ под следующим членом делимого $(0)$ .

$\frac{7}{2}$	$2$	$0$	$- 7$
		$7$
	$2$

Этап 6.4

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$\frac{7}{2}$	$2$	$0$	$- 7$
		$7$
	$2$	$7$

Этап 6.5

Умножим последний элемент в области результата $(7)$ на делитель $(\frac{7}{2})$ и запишем их произведение $(\frac{49}{2})$ под следующим членом делимого $(- 7)$ .

$\frac{7}{2}$	$2$	$0$	$- 7$
		$7$	$\frac{49}{2}$
	$2$	$7$

Этап 6.6

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$\frac{7}{2}$	$2$	$0$	$- 7$
		$7$	$\frac{49}{2}$
	$2$	$7$	$\frac{35}{2}$

Этап 6.7

$(2) x + 7 + \frac{\frac{35}{2}}{x - \frac{7}{2}}$

Этап 6.8

Упростим частное многочленов.

$2 x + 7 + \frac{35}{2 x - 7}$

Этап 7

Поскольку $\frac{7}{2} > 0$ и все знаки в нижней строке схемы Горнера являются положительными, $\frac{7}{2}$ является верхней границей вещественных корней функции.

Верхняя граница: $\frac{7}{2}$

Этап 8

Применим схему Горнера к $\frac{2 x^{2} - 7}{x + \frac{7}{2}}$ при $x = - \frac{7}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Поместим числа, представляющие делитель и делимое, в конфигурацию для деления.

$- \frac{7}{2}$	$2$	$0$	$- 7$

Этап 8.2

Первое число в делимом $(2)$ помещается в первую позицию области результата (ниже горизонтальной линии).

$- \frac{7}{2}$	$2$	$0$	$- 7$

	$2$

Этап 8.3

Умножим последний элемент в области результата $(2)$ на делитель $(- \frac{7}{2})$ и запишем их произведение $(- 7)$ под следующим членом делимого $(0)$ .

$- \frac{7}{2}$	$2$	$0$	$- 7$
		$- 7$
	$2$

Этап 8.4

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$- \frac{7}{2}$	$2$	$0$	$- 7$
		$- 7$
	$2$	$- 7$

Этап 8.5

Умножим последний элемент в области результата $(- 7)$ на делитель $(- \frac{7}{2})$ и запишем их произведение $(\frac{49}{2})$ под следующим членом делимого $(- 7)$ .

$- \frac{7}{2}$	$2$	$0$	$- 7$
		$- 7$	$\frac{49}{2}$
	$2$	$- 7$

Этап 8.6

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$- \frac{7}{2}$	$2$	$0$	$- 7$
		$- 7$	$\frac{49}{2}$
	$2$	$- 7$	$\frac{35}{2}$

Этап 8.7

$(2) x - 7 + \frac{\frac{35}{2}}{x + \frac{7}{2}}$

Этап 8.8

Упростим частное многочленов.

$2 x - 7 + \frac{35}{2 x + 7}$

Этап 9

Поскольку $- \frac{7}{2} < 0$ и знаки в нижней строке схемы Горнера меняются, $- \frac{7}{2}$ является нижней границей вещественных корней функции.

Нижняя граница: $- \frac{7}{2}$

Этап 10

Определим верхнюю и нижнюю границы.

Верхние границы: $7, \frac{7}{2}$

Нижние границы: $- 7, - \frac{7}{2}$

Этап 11