Основы мат. анализа Примеры

$x^{3} + 27 i = 0$

Этап 1

Вычтем $27 i$ из обеих частей уравнения.

$x^{3} = - 27 i$

Этап 2

Это тригонометрическая форма комплексного числа, где $| z |$ — модуль, а $θ$ — угол радиус-вектора на комплексной плоскости.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Этап 3

Модуль комплексного числа ― это расстояние от начала координат на комплексной плоскости.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ , где $z = a + b i$

Этап 4

Подставим фактические значения $a = 0$ и $b = - 27$ .

$| z | = \sqrt{{(- 27)}^{2}}$

Этап 5

Найдем $| z |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Возведем $- 27$ в степень $2$ .

$| z | = \sqrt{729}$

Этап 5.2

Перепишем $729$ в виде $27^{2}$ .

$| z | = \sqrt{27^{2}}$

Этап 5.3

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$| z | = 27$

Этап 6

Угол точки на комплексной плоскости равен обратному тангенсу мнимой части, поделенной на вещественную часть.

$θ = \arctan (\frac{- 27}{0})$

Этап 7

Поскольку аргумент не определен и $b$ имеет отрицательное значение, угол точки на комплексной плоскости равен $\frac{3 π}{2}$ .

$θ = \frac{3 π}{2}$

Этап 8

Подставим значения $θ = \frac{3 π}{2}$ и $| z | = 27$ .

$27 (\cos (\frac{3 π}{2}) + i \sin (\frac{3 π}{2}))$

Этап 9

Заменим правую часть уравнения на тригонометрическую формулу.

$x^{3} = 27 (\cos (\frac{3 π}{2}) + i \sin (\frac{3 π}{2}))$