Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = \sin (x)$

Этап 1

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$\cos (x)$

Этап 2

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = - \sin (x)$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$\cos (x) = 0$

Этап 4

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из косинуса.

$x = \arccos (0)$

Этап 5

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Точное значение $\arccos (0)$ : $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Этап 6

Функция косинуса положительна в первом и четвертом квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Этап 7

Упростим $2 π - \frac{π}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 7.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Объединим $2 π$ и $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 7.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Этап 7.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Умножим $2$ на $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Этап 7.3.2

Вычтем $π$ из $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Этап 8

Решение уравнения $x = \frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}$

Этап 9

Найдем вторую производную в $x = \frac{π}{2}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- \sin (\frac{π}{2})$

Этап 10

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Точное значение $\sin (\frac{π}{2})$ : $1$ .

$- 1 \cdot 1$

Этап 10.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- 1$

Этап 11

$x = \frac{π}{2}$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = \frac{π}{2}$ — локальный максимум

Этап 12

Найдем значение y, если $x = \frac{π}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{π}{2}$ .

$f (\frac{π}{2}) = \sin (\frac{π}{2})$

Этап 12.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Точное значение $\sin (\frac{π}{2})$ : $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = 1$

Этап 12.2.2

Окончательный ответ: $1$ .

$y = 1$

Этап 13

Найдем вторую производную в $x = \frac{3 π}{2}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- \sin (\frac{3 π}{2})$

Этап 14

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как синус отрицательный в четвертом квадранте.

$- - \sin (\frac{π}{2})$

Этап 14.2

Точное значение $\sin (\frac{π}{2})$ : $1$ .

$- (- 1 \cdot 1)$

Этап 14.3

Умножим $- (- 1 \cdot 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.3.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- - 1$

Этап 14.3.2

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1$

Этап 15

$x = \frac{3 π}{2}$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = \frac{3 π}{2}$ — локальный минимум

Этап 16

Найдем значение y, если $x = \frac{3 π}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{3 π}{2}$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = \sin (\frac{3 π}{2})$

Этап 16.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.1

$f (\frac{3 π}{2}) = - \sin (\frac{π}{2})$

Этап 16.2.2

Точное значение $\sin (\frac{π}{2})$ : $1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = - 1 \cdot 1$

Этап 16.2.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = - 1$

Этап 16.2.4

Окончательный ответ: $- 1$ .

$y = - 1$

Этап 17

Это локальные экстремумы $f (x) = \sin (x)$ .

$(\frac{π}{2}, 1)$ — локальный максимум

$(\frac{3 π}{2}, - 1)$ — локальный минимум

Этап 18