Основы мат. анализа Примеры

$y = \arccos (\frac{x}{2})$

Этап 1

Поменяем переменные местами.

$x = \arccos (\frac{y}{2})$

Этап 2

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем уравнение в виде $\arccos (\frac{y}{2}) = x$ .

$\arccos (\frac{y}{2}) = x$

Этап 2.2

Возьмем обратный арккосинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $y$ из арккосинуса.

$\frac{y}{2} = \cos (x)$

Этап 2.3

Умножим обе части уравнения на $2$ .

$2 \frac{y}{2} = 2 \cos (x)$

Этап 2.4

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1.1

Сократим общий множитель.

$2 \frac{y}{2} = 2 \cos (x)$

Этап 2.4.1.2

Перепишем это выражение.

$y = 2 \cos (x)$

Этап 3

Заменим $y$ на $f^{- 1} (x)$ , чтобы получить окончательный ответ.

$f^{- 1} (x) = 2 \cos (x)$

Этап 4

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = 2 \cos (x)$ обратной к $f (x) = \arccos (\frac{x}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 4.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 4.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (\arccos (\frac{x}{2}))$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\arccos (\frac{x}{2})) = 2 \cos (\arccos (\frac{x}{2}))$

Этап 4.2.3

Косинус и арккосинус — обратные функции.

$f^{- 1} (\arccos (\frac{x}{2})) = 2 (\frac{x}{2})$

Этап 4.2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\arccos (\frac{x}{2})) = 2 (\frac{x}{2})$

Этап 4.2.4.2

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (\arccos (\frac{x}{2})) = x$

Этап 4.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 4.3.2

Найдем значение $f (2 \cos (x))$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (2 \cos (x)) = \arccos (\frac{2 \cos (x)}{2})$

Этап 4.3.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Сократим общий множитель.

$f (2 \cos (x)) = \arccos (\frac{2 \cos (x)}{2})$

Этап 4.3.3.2

Разделим $\cos (x)$ на $1$ .

$f (2 \cos (x)) = \arccos (\cos (x))$

Этап 4.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = 2 \cos (x)$ — обратная к $f (x) = \arccos (\frac{x}{2})$ .

$f^{- 1} (x) = 2 \cos (x)$