Основы мат. анализа Примеры

$\frac{{(x + 2)}^{2}}{12} + \frac{{(y - 4)}^{2}}{9} = 1$

Этап 1

Упростим каждый член уравнения, чтобы правая часть была равна $1$ . Стандартная форма уравнения эллипса или гиперболы требует, чтобы правая часть уравнения была равна $1$ .

$\frac{{(x + 2)}^{2}}{12} + \frac{{(y - 4)}^{2}}{9} = 1$

Этап 2

Это формула эллипса. Используем эту формулу для определения центра, большой и малой осей эллипса.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Этап 3

Сопоставим параметры эллипса со значениями в стандартной форме. Переменная $a$ представляет большую ось эллипса, $b$ — малую ось, $h$ — сдвиг по оси X от начала координат, а $k$ — сдвиг по оси Y от начала координат.

$a = 2 \sqrt{3}$

$b = 3$

$k = 4$

$h = - 2$

Этап 4

Найдем эксцентриситет по приведенной ниже формуле.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Этап 5

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу.

$\frac{\sqrt{{(2 \sqrt{3})}^{2} - {(3)}^{2}}}{2 \sqrt{3}}$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Применим правило умножения к $2 \sqrt{3}$ .

$\frac{\sqrt{2^{2} {\sqrt{3}}^{2} - 3^{2}}}{2 \sqrt{3}}$

Этап 6.1.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\frac{\sqrt{4 {\sqrt{3}}^{2} - 3^{2}}}{2 \sqrt{3}}$

Этап 6.1.3

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{4 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} - 3^{2}}}{2 \sqrt{3}}$

Этап 6.1.3.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{4 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 3^{2}}}{2 \sqrt{3}}$

Этап 6.1.3.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{\sqrt{4 \cdot 3^{\frac{2}{2}} - 3^{2}}}{2 \sqrt{3}}$

Этап 6.1.3.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.3.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\sqrt{4 \cdot 3^{\frac{2}{2}} - 3^{2}}}{2 \sqrt{3}}$

Этап 6.1.3.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\sqrt{4 \cdot 3^{1} - 3^{2}}}{2 \sqrt{3}}$

Этап 6.1.3.5

Найдем экспоненту.

$\frac{\sqrt{4 \cdot 3 - 3^{2}}}{2 \sqrt{3}}$

Этап 6.1.4

Умножим $4$ на $3$ .

$\frac{\sqrt{12 - 3^{2}}}{2 \sqrt{3}}$

Этап 6.1.5

Возведем $3$ в степень $2$ .

$\frac{\sqrt{12 - 1 \cdot 9}}{2 \sqrt{3}}$

Этап 6.1.6

Умножим $- 1$ на $9$ .

$\frac{\sqrt{12 - 9}}{2 \sqrt{3}}$

Этап 6.1.7

Вычтем $9$ из $12$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 \sqrt{3}}$

Этап 6.2

Сократим общий множитель $\sqrt{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\sqrt{3}}{2 \sqrt{3}}$

Этап 6.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{2}$

Этап 7