Основы мат. анализа Примеры

$x^{3} y = - 6$

Этап 1

Разделим каждый член $x^{3} y = - 6$ на $x^{3}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разделим каждый член $x^{3} y = - 6$ на $x^{3}$ .

$\frac{x^{3} y}{x^{3}} = \frac{- 6}{x^{3}}$

Этап 1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Сократим общий множитель $x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x^{3} y}{x^{3}} = \frac{- 6}{x^{3}}$

Этап 1.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{- 6}{x^{3}}$

Этап 1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = - \frac{6}{x^{3}}$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = - \frac{6}{y^{3}}$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $- \frac{6}{y^{3}} = x$ .

$- \frac{6}{y^{3}} = x$

Этап 3.2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$y^{3}, 1$

Этап 3.2.2

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$y^{3}$

Этап 3.3

Каждый член в $- \frac{6}{y^{3}} = x$ умножим на $y^{3}$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Умножим каждый член $- \frac{6}{y^{3}} = x$ на $y^{3}$ .

$- \frac{6}{y^{3}} y^{3} = x y^{3}$

Этап 3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Сократим общий множитель $y^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{6}{y^{3}}$ в числитель.

$\frac{- 6}{y^{3}} y^{3} = x y^{3}$

Этап 3.3.2.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{- 6}{y^{3}} y^{3} = x y^{3}$

Этап 3.3.2.1.3

Перепишем это выражение.

$- 6 = x y^{3}$

Этап 3.4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Перепишем уравнение в виде $x y^{3} = - 6$ .

$x y^{3} = - 6$

Этап 3.4.2

Разделим каждый член $x y^{3} = - 6$ на $x$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Разделим каждый член $x y^{3} = - 6$ на $x$ .

$\frac{x y^{3}}{x} = \frac{- 6}{x}$

Этап 3.4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.2.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x y^{3}}{x} = \frac{- 6}{x}$

Этап 3.4.2.2.1.2

Разделим $y^{3}$ на $1$ .

$y^{3} = \frac{- 6}{x}$

Этап 3.4.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y^{3} = - \frac{6}{x}$

Этап 3.4.3

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$y = \sqrt[3]{- \frac{6}{x}}$

Этап 3.4.4

Упростим $\sqrt[3]{- \frac{6}{x}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.1

Перепишем $- \frac{6}{x}$ в виде ${({(- 1)}^{3})}^{3} \frac{6}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.1.1

Перепишем $- 1$ в виде ${(- 1)}^{3}$ .

$y = \sqrt[3]{{(- 1)}^{3} \frac{6}{x}}$

Этап 3.4.4.1.2

Перепишем $- 1$ в виде ${(- 1)}^{3}$ .

$y = \sqrt[3]{{({(- 1)}^{3})}^{3} \frac{6}{x}}$

Этап 3.4.4.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = {(- 1)}^{3} \sqrt[3]{\frac{6}{x}}$

Этап 3.4.4.3

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$y = - \sqrt[3]{\frac{6}{x}}$

Этап 3.4.4.4

Перепишем $\sqrt[3]{\frac{6}{x}}$ в виде $\frac{\sqrt[3]{6}}{\sqrt[3]{x}}$ .

$y = - \frac{\sqrt[3]{6}}{\sqrt[3]{x}}$

Этап 3.4.4.5

Умножим $\frac{\sqrt[3]{6}}{\sqrt[3]{x}}$ на $\frac{{\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{2}}$ .

$y = - (\frac{\sqrt[3]{6}}{\sqrt[3]{x}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{2}})$

Этап 3.4.4.6

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.6.1

Умножим $\frac{\sqrt[3]{6}}{\sqrt[3]{x}}$ на $\frac{{\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{2}}$ .

$y = - \frac{\sqrt[3]{6} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{x}}^{2}}$

Этап 3.4.4.6.2

Возведем $\sqrt[3]{x}$ в степень $1$ .

$y = - \frac{\sqrt[3]{6} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{1} {\sqrt[3]{x}}^{2}}$

Этап 3.4.4.6.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y = - \frac{\sqrt[3]{6} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{1 + 2}}$

Этап 3.4.4.6.4

Добавим $1$ и $2$ .

$y = - \frac{\sqrt[3]{6} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{3}}$

Этап 3.4.4.6.5

Перепишем ${\sqrt[3]{x}}^{3}$ в виде $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.6.5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{x}$ в виде $x^{\frac{1}{3}}$ .

$y = - \frac{\sqrt[3]{6} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{{(x^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Этап 3.4.4.6.5.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = - \frac{\sqrt[3]{6} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Этап 3.4.4.6.5.3

Объединим $\frac{1}{3}$ и $3$ .

$y = - \frac{\sqrt[3]{6} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x^{\frac{3}{3}}}$

Этап 3.4.4.6.5.4

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.6.5.4.1

Сократим общий множитель.

$y = - \frac{\sqrt[3]{6} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x^{\frac{3}{3}}}$

Этап 3.4.4.6.5.4.2

Перепишем это выражение.

$y = - \frac{\sqrt[3]{6} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x^{1}}$

Этап 3.4.4.6.5.5

Упростим.

$y = - \frac{\sqrt[3]{6} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x}$

Этап 3.4.4.7

Перепишем ${\sqrt[3]{x}}^{2}$ в виде $\sqrt[3]{x^{2}}$ .

$y = - \frac{\sqrt[3]{6} \sqrt[3]{x^{2}}}{x}$

Этап 3.4.4.8

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$y = - \frac{\sqrt[3]{6 x^{2}}}{x}$

Этап 4

Заменим $y$ на $f^{- 1} (x)$ , чтобы получить окончательный ответ.

$f^{- 1} (x) = - \frac{\sqrt[3]{6 x^{2}}}{x}$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = - \frac{\sqrt[3]{6 x^{2}}}{x}$ обратной к $f (x) = - \frac{6}{x^{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 5.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 5.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (- \frac{6}{x^{3}})$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (- \frac{6}{x^{3}}) = - \frac{\sqrt[3]{6 {(- \frac{6}{x^{3}})}^{2}}}{- \frac{6}{x^{3}}}$

Этап 5.2.3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$f^{- 1} (- \frac{6}{x^{3}}) = - (\sqrt[3]{6 {(- \frac{6}{x^{3}})}^{2}} (- \frac{x^{3}}{6}))$

Этап 5.2.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$f^{- 1} (- \frac{6}{x^{3}}) = - (- \sqrt[3]{6 {(- \frac{6}{x^{3}})}^{2}} \frac{x^{3}}{6})$

Этап 5.2.5

Применим правило умножения к $- \frac{6}{x^{3}}$ .

$f^{- 1} (- \frac{6}{x^{3}}) = - (- \sqrt[3]{6 {(- 1)}^{2} {(\frac{6}{x^{3}})}^{2}} \frac{x^{3}}{6})$

Этап 5.2.6

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$f^{- 1} (- \frac{6}{x^{3}}) = - (- \sqrt[3]{6 \cdot (1 {(\frac{6}{x^{3}})}^{2})} \frac{x^{3}}{6})$

Этап 5.2.7

Применим правило умножения к $\frac{6}{x^{3}}$ .

$f^{- 1} (- \frac{6}{x^{3}}) = - (- \sqrt[3]{6 \cdot (1 (\frac{6^{2}}{{(x^{3})}^{2}}))} \frac{x^{3}}{6})$

Этап 5.2.8

Возведем $6$ в степень $2$ .

$f^{- 1} (- \frac{6}{x^{3}}) = - (- \sqrt[3]{6 \cdot (1 (\frac{36}{{(x^{3})}^{2}}))} \frac{x^{3}}{6})$

Этап 5.2.9

Перемножим экспоненты в ${(x^{3})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.9.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (- \frac{6}{x^{3}}) = - (- \sqrt[3]{6 \cdot (1 (\frac{36}{x^{3 \cdot 2}}))} \frac{x^{3}}{6})$

Этап 5.2.9.2

Умножим $3$ на $2$ .

$f^{- 1} (- \frac{6}{x^{3}}) = - (- \sqrt[3]{6 \cdot (1 (\frac{36}{x^{6}}))} \frac{x^{3}}{6})$

Этап 5.2.10

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.10.1

Умножим $6$ на $1$ .

$f^{- 1} (- \frac{6}{x^{3}}) = - (- \sqrt[3]{6 (\frac{36}{x^{6}})} \frac{x^{3}}{6})$

Этап 5.2.10.2

Объединим $6$ и $\frac{36}{x^{6}}$ .

$f^{- 1} (- \frac{6}{x^{3}}) = - (- \sqrt[3]{\frac{6 \cdot 36}{x^{6}}} \frac{x^{3}}{6})$

Этап 5.2.10.3

Умножим $6$ на $36$ .

$f^{- 1} (- \frac{6}{x^{3}}) = - (- \sqrt[3]{\frac{216}{x^{6}}} \frac{x^{3}}{6})$

Этап 5.2.11

Перепишем $216$ в виде $6^{3}$ .

$f^{- 1} (- \frac{6}{x^{3}}) = - (- \sqrt[3]{\frac{6^{3}}{x^{6}}} \frac{x^{3}}{6})$

Этап 5.2.12

Перепишем $x^{6}$ в виде ${(x^{2})}^{3}$ .

$f^{- 1} (- \frac{6}{x^{3}}) = - (- \sqrt[3]{\frac{6^{3}}{{(x^{2})}^{3}}} \frac{x^{3}}{6})$

Этап 5.2.13

Перепишем $\frac{6^{3}}{{(x^{2})}^{3}}$ в виде ${(\frac{6}{x^{2}})}^{3}$ .

$f^{- 1} (- \frac{6}{x^{3}}) = - (- \sqrt[3]{{(\frac{6}{x^{2}})}^{3}} \frac{x^{3}}{6})$

Этап 5.2.14

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что это вещественные числа.

$f^{- 1} (- \frac{6}{x^{3}}) = - (- \frac{6}{x^{2}} \cdot \frac{x^{3}}{6})$

Этап 5.2.15

Сократим общий множитель $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.15.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{6}{x^{2}}$ в числитель.

$f^{- 1} (- \frac{6}{x^{3}}) = - (\frac{- 6}{x^{2}} \cdot \frac{x^{3}}{6})$

Этап 5.2.15.2

Вынесем множитель $6$ из $- 6$ .

$f^{- 1} (- \frac{6}{x^{3}}) = - (\frac{6 (- 1)}{x^{2}} \cdot \frac{x^{3}}{6})$

Этап 5.2.15.3

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (- \frac{6}{x^{3}}) = - (\frac{6 \cdot - 1}{x^{2}} \cdot \frac{x^{3}}{6})$

Этап 5.2.15.4

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (- \frac{6}{x^{3}}) = - (\frac{- 1}{x^{2}} \cdot x^{3})$

Этап 5.2.16

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.16.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{3}$ .

$f^{- 1} (- \frac{6}{x^{3}}) = - (\frac{- 1}{x^{2}} \cdot (x^{2} x))$

Этап 5.2.16.2

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (- \frac{6}{x^{3}}) = - (\frac{- 1}{x^{2}} \cdot (x^{2} x))$

Этап 5.2.16.3

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (- \frac{6}{x^{3}}) = x$

Этап 5.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 5.3.2

Найдем значение $f (- \frac{\sqrt[3]{6 x^{2}}}{x})$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (- \frac{\sqrt[3]{6 x^{2}}}{x}) = - \frac{6}{{(- \frac{\sqrt[3]{6 x^{2}}}{x})}^{3}}$

Этап 5.3.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Применим правило умножения к $- \frac{\sqrt[3]{6 x^{2}}}{x}$ .

$f (- \frac{\sqrt[3]{6 x^{2}}}{x}) = - \frac{6}{{(- 1)}^{3} {(\frac{\sqrt[3]{6 x^{2}}}{x})}^{3}}$

Этап 5.3.3.2

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$f (- \frac{\sqrt[3]{6 x^{2}}}{x}) = - \frac{6}{- {(\frac{\sqrt[3]{6 x^{2}}}{x})}^{3}}$

Этап 5.3.3.3

Применим правило умножения к $\frac{\sqrt[3]{6 x^{2}}}{x}$ .

$f (- \frac{\sqrt[3]{6 x^{2}}}{x}) = - \frac{6}{- \frac{{\sqrt[3]{6 x^{2}}}^{3}}{x^{3}}}$

Этап 5.3.3.4

Перепишем ${\sqrt[3]{6 x^{2}}}^{3}$ в виде $6 x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{6 x^{2}}$ в виде ${(6 x^{2})}^{\frac{1}{3}}$ .

$f (- \frac{\sqrt[3]{6 x^{2}}}{x}) = - \frac{6}{- \frac{{({(6 x^{2})}^{\frac{1}{3}})}^{3}}{x^{3}}}$

Этап 5.3.3.4.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{\sqrt[3]{6 x^{2}}}{x}) = - \frac{6}{- \frac{{(6 x^{2})}^{\frac{1}{3} \cdot 3}}{x^{3}}}$

Этап 5.3.3.4.3

Объединим $\frac{1}{3}$ и $3$ .

$f (- \frac{\sqrt[3]{6 x^{2}}}{x}) = - \frac{6}{- \frac{{(6 x^{2})}^{\frac{3}{3}}}{x^{3}}}$

Этап 5.3.3.4.4

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.4.4.1

Сократим общий множитель.

$f (- \frac{\sqrt[3]{6 x^{2}}}{x}) = - \frac{6}{- \frac{{(6 x^{2})}^{\frac{3}{3}}}{x^{3}}}$

Этап 5.3.3.4.4.2

Перепишем это выражение.

$f (- \frac{\sqrt[3]{6 x^{2}}}{x}) = - \frac{6}{- \frac{6 x^{2}}{x^{3}}}$

Этап 5.3.3.4.5

Упростим.

$f (- \frac{\sqrt[3]{6 x^{2}}}{x}) = - \frac{6}{- \frac{6 x^{2}}{x^{3}}}$

Этап 5.3.3.5

Сократим общий множитель $x^{2}$ и $x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.5.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $6 x^{2}$ .

$f (- \frac{\sqrt[3]{6 x^{2}}}{x}) = - \frac{6}{- \frac{x^{2} \cdot 6}{x^{3}}}$

Этап 5.3.3.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.5.2.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{3}$ .

$f (- \frac{\sqrt[3]{6 x^{2}}}{x}) = - \frac{6}{- \frac{x^{2} \cdot 6}{x^{2} x}}$

Этап 5.3.3.5.2.2

Сократим общий множитель.

$f (- \frac{\sqrt[3]{6 x^{2}}}{x}) = - \frac{6}{- \frac{x^{2} \cdot 6}{x^{2} x}}$

Этап 5.3.3.5.2.3

Перепишем это выражение.

$f (- \frac{\sqrt[3]{6 x^{2}}}{x}) = - \frac{6}{- \frac{6}{x}}$

Этап 5.3.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$f (- \frac{\sqrt[3]{6 x^{2}}}{x}) = - (6 (- \frac{x}{6}))$

Этап 5.3.5

Сократим общий множитель $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.5.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{x}{6}$ в числитель.

$f (- \frac{\sqrt[3]{6 x^{2}}}{x}) = - (6 (\frac{- x}{6}))$

Этап 5.3.5.2

Сократим общий множитель.

$f (- \frac{\sqrt[3]{6 x^{2}}}{x}) = - (6 (\frac{- x}{6}))$

Этап 5.3.5.3

Перепишем это выражение.

$f (- \frac{\sqrt[3]{6 x^{2}}}{x}) = x$

Этап 5.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = - \frac{\sqrt[3]{6 x^{2}}}{x}$ — обратная к $f (x) = - \frac{6}{x^{3}}$ .

$f^{- 1} (x) = - \frac{\sqrt[3]{6 x^{2}}}{x}$