Основы мат. анализа Примеры

$x^{3} - 15 x - 4 = 0$

Этап 1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 4$

$q = \pm 1$

Этап 2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 2, \pm 4$

Этап 3

Подставим возможные корни поочередно в многочлен, чтобы найти фактические корни. Упростим и убедимся, что это значение равно $0$ , значит, это корень.

${(4)}^{3} - 15 \cdot 4 - 4$

Этап 4

Упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $x = 4$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Возведем $4$ в степень $3$ .

$64 - 15 \cdot 4 - 4$

Этап 4.1.2

Умножим $- 15$ на $4$ .

$64 - 60 - 4$

Этап 4.2

Упростим путем вычитания чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вычтем $60$ из $64$ .

$4 - 4$

Этап 4.2.2

Вычтем $4$ из $4$ .

$0$

Этап 5

Поскольку $4$ — известный корень, разделим многочлен на $x - 4$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{x^{3} - 15 x - 4}{x - 4}$

Этап 6

Затем найдем корни оставшегося многочлена. Порядок многочлена был уменьшен на $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Поместим числа, представляющие делитель и делимое, в конфигурацию для деления.

$4$	$1$	$0$	$- 15$	$- 4$

Этап 6.2

Первое число в делимом $(1)$ помещается в первую позицию области результата (ниже горизонтальной линии).

$4$	$1$	$0$	$- 15$	$- 4$

	$1$

Этап 6.3

Умножим последний элемент в области результата $(1)$ на делитель $(4)$ и запишем их произведение $(4)$ под следующим членом делимого $(0)$ .

$4$	$1$	$0$	$- 15$	$- 4$
		$4$
	$1$

Этап 6.4

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$4$	$1$	$0$	$- 15$	$- 4$
		$4$
	$1$	$4$

Этап 6.5

Умножим последний элемент в области результата $(4)$ на делитель $(4)$ и запишем их произведение $(16)$ под следующим членом делимого $(- 15)$ .

$4$	$1$	$0$	$- 15$	$- 4$
		$4$	$16$
	$1$	$4$

Этап 6.6

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$4$	$1$	$0$	$- 15$	$- 4$
		$4$	$16$
	$1$	$4$	$1$

Этап 6.7

Умножим последний элемент в области результата $(1)$ на делитель $(4)$ и запишем их произведение $(4)$ под следующим членом делимого $(- 4)$ .

$4$	$1$	$0$	$- 15$	$- 4$
		$4$	$16$	$4$
	$1$	$4$	$1$

Этап 6.8

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$4$	$1$	$0$	$- 15$	$- 4$
		$4$	$16$	$4$
	$1$	$4$	$1$	$0$

Этап 6.9

Все числа, кроме последнего, становятся коэффициентами фактор-многочлена. Последнее значение в строке результатов — это остаток.

$1 x^{2} + 4 x + 1$

Этап 6.10

Упростим частное многочленов.

$x^{2} + 4 x + 1$

Этап 7

Решим уравнение, чтобы найти оставшиеся корни.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 7.2

Подставим значения $a = 1$ , $b = 4$ и $c = 1$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1.1

Возведем $4$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.3.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.3.1.2.2

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.3.1.3

Вычтем $4$ из $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.3.1.4

Перепишем $12$ в виде $2^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $12$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.3.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.3.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.3.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$

Этап 7.3.3

Упростим $\frac{- 4 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 2 \pm \sqrt{3}$

Этап 7.4

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1.1

Возведем $4$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.4.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.4.1.2.2

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.4.1.3

Вычтем $4$ из $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.4.1.4

Перепишем $12$ в виде $2^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $12$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.4.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.4.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.4.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$

Этап 7.4.3

Упростим $\frac{- 4 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 2 \pm \sqrt{3}$

Этап 7.4.4

Заменим $\pm$ на $+$ .

$x = - 2 + \sqrt{3}$

Этап 7.5

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.1.1

Возведем $4$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.5.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.5.1.2.2

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.5.1.3

Вычтем $4$ из $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.5.1.4

Перепишем $12$ в виде $2^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $12$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.5.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.5.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.5.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$

Этап 7.5.3

Упростим $\frac{- 4 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 2 \pm \sqrt{3}$

Этап 7.5.4

Заменим $\pm$ на $-$ .

$x = - 2 - \sqrt{3}$

Этап 7.6

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = - 2 + \sqrt{3}, - 2 - \sqrt{3}$

Этап 8

Многочлен можно записать в виде набора линейных множителей.

$(x - 4) (x + 2 - \sqrt{3}) (x + 2 + \sqrt{3})$

Этап 9

Это корни (нули) многочлена $x^{3} - 15 x - 4$ .

$x = 4, - 2 + \sqrt{3}, - 2 - \sqrt{3}$

Этап 10

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = 4, - 2 + \sqrt{3}, - 2 - \sqrt{3}$

Десятичная форма:

$x = 4, - 0.26794919 \dots, - 3.73205080 \dots$

Этап 11