Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = \sqrt{\frac{x - 4}{x}}$

Этап 1

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{\frac{x - 4}{x}}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$\frac{x - 4}{x} \geq 0$

Этап 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем все значения, где выражение переменяет знак с отрицательного на положительный. Для этого приравняем каждый множитель к $0$ и решим.

$x = 0$

$x - 4 = 0$

Этап 2.2

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$x = 4$

Этап 2.3

Решим для каждого множителя, чтобы найти значения, при которых выражение абсолютного значения переходит от отрицательного значения к положительному.

$x = 0$

$x = 4$

Этап 2.4

Объединим решения.

$x = 0, 4$

Этап 2.5

Найдем область определения $\frac{x - 4}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Зададим знаменатель в $\frac{x - 4}{x}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x = 0$

Этап 2.5.2

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Этап 2.6

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < 0$

$0 < x < 4$

$x > 4$

Этап 2.7

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Проверим значение на интервале $x < 0$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1.1

Выберем значение на интервале $x < 0$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 2$

Этап 2.7.1.2

Заменим $x$ на $- 2$ в исходном неравенстве.

$\frac{(- 2) - 4}{- 2} \geq 0$

Этап 2.7.1.3

Левая часть $3$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 2.7.2

Проверим значение на интервале $0 < x < 4$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.2.1

Выберем значение на интервале $0 < x < 4$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 2$

Этап 2.7.2.2

Заменим $x$ на $2$ в исходном неравенстве.

$\frac{(2) - 4}{2} \geq 0$

Этап 2.7.2.3

Левая часть $- 1$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 2.7.3

Проверим значение на интервале $x > 4$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.3.1

Выберем значение на интервале $x > 4$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 6$

Этап 2.7.3.2

Заменим $x$ на $6$ в исходном неравенстве.

$\frac{(6) - 4}{6} \geq 0$

Этап 2.7.3.3

Левая часть $0.\overline{3}$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 2.7.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < 0$ Истина

$0 < x < 4$ Ложь

$x > 4$ Истина

$x < 0$ Истина

$0 < x < 4$ Ложь

$x > 4$ Истина

Этап 2.8

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x < 0$ или $x \geq 4$

Этап 3

Зададим знаменатель в $\frac{x - 4}{x}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x = 0$

Этап 4

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$(- \infty, 0) \cup [4, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x < 0, x \geq 4}$

Этап 5