Основы мат. анализа Примеры

$9 x^{2} + 16 y^{2} - 72 x + 64 y - 368 = 0$

Этап 1

Добавим $368$ к обеим частям уравнения.

$9 x^{2} + 16 y^{2} - 72 x + 64 y = 368$

Этап 2

Составим полный квадрат для $9 x^{2} - 72 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = 9$

$b = - 72$

$c = 0$

Этап 2.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 2.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 72}{2 \cdot 9}$

Этап 2.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Сократим общий множитель $- 72$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $- 72$ .

$d = \frac{2 \cdot - 36}{2 \cdot 9}$

Этап 2.3.2.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \cdot 9$ .

$d = \frac{2 \cdot - 36}{2 (9)}$

Этап 2.3.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{2 \cdot - 36}{2 \cdot 9}$

Этап 2.3.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{- 36}{9}$

Этап 2.3.2.2

Сократим общий множитель $- 36$ и $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.1

Вынесем множитель $9$ из $- 36$ .

$d = \frac{9 \cdot - 4}{9}$

Этап 2.3.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.2.1

Вынесем множитель $9$ из $9$ .

$d = \frac{9 \cdot - 4}{9 (1)}$

Этап 2.3.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{9 \cdot - 4}{9 \cdot 1}$

Этап 2.3.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{- 4}{1}$

Этап 2.3.2.2.2.4

Разделим $- 4$ на $1$ .

$d = - 4$

Этап 2.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 72)}^{2}}{4 \cdot 9}$

Этап 2.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1.1

Возведем $- 72$ в степень $2$ .

$e = 0 - \frac{5184}{4 \cdot 9}$

Этап 2.4.2.1.2

Умножим $4$ на $9$ .

$e = 0 - \frac{5184}{36}$

Этап 2.4.2.1.3

Разделим $5184$ на $36$ .

$e = 0 - 1 \cdot 144$

Этап 2.4.2.1.4

Умножим $- 1$ на $144$ .

$e = 0 - 144$

Этап 2.4.2.2

Вычтем $144$ из $0$ .

$e = - 144$

Этап 2.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной $9 {(x - 4)}^{2} - 144$ .

$9 {(x - 4)}^{2} - 144$

Этап 3

Подставим $9 {(x - 4)}^{2} - 144$ вместо $9 x^{2} - 72 x$ в уравнение $9 x^{2} + 16 y^{2} - 72 x + 64 y = 368$ .

$9 {(x - 4)}^{2} - 144 + 16 y^{2} + 64 y = 368$

Этап 4

Перенесем $- 144$ в правую часть уравнения, прибавив $144$ к обеим частям.

$9 {(x - 4)}^{2} + 16 y^{2} + 64 y = 368 + 144$

Этап 5

Составим полный квадрат для $16 y^{2} + 64 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = 16$

$b = 64$

$c = 0$

Этап 5.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 5.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{64}{2 \cdot 16}$

Этап 5.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Сократим общий множитель $64$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $64$ .

$d = \frac{2 \cdot 32}{2 \cdot 16}$

Этап 5.3.2.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \cdot 16$ .

$d = \frac{2 \cdot 32}{2 (16)}$

Этап 5.3.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{2 \cdot 32}{2 \cdot 16}$

Этап 5.3.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{32}{16}$

Этап 5.3.2.2

Сократим общий множитель $32$ и $16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.2.1

Вынесем множитель $16$ из $32$ .

$d = \frac{16 \cdot 2}{16}$

Этап 5.3.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.2.2.1

Вынесем множитель $16$ из $16$ .

$d = \frac{16 \cdot 2}{16 (1)}$

Этап 5.3.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{16 \cdot 2}{16 \cdot 1}$

Этап 5.3.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{2}{1}$

Этап 5.3.2.2.2.4

Разделим $2$ на $1$ .

$d = 2$

Этап 5.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{64^{2}}{4 \cdot 16}$

Этап 5.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1.1

Возведем $64$ в степень $2$ .

$e = 0 - \frac{4096}{4 \cdot 16}$

Этап 5.4.2.1.2

Умножим $4$ на $16$ .

$e = 0 - \frac{4096}{64}$

Этап 5.4.2.1.3

Разделим $4096$ на $64$ .

$e = 0 - 1 \cdot 64$

Этап 5.4.2.1.4

Умножим $- 1$ на $64$ .

$e = 0 - 64$

Этап 5.4.2.2

Вычтем $64$ из $0$ .

$e = - 64$

Этап 5.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной $16 {(y + 2)}^{2} - 64$ .

$16 {(y + 2)}^{2} - 64$

Этап 6

Подставим $16 {(y + 2)}^{2} - 64$ вместо $16 y^{2} + 64 y$ в уравнение $9 x^{2} + 16 y^{2} - 72 x + 64 y = 368$ .

$9 {(x - 4)}^{2} + 16 {(y + 2)}^{2} - 64 = 368 + 144$

Этап 7

Перенесем $- 64$ в правую часть уравнения, прибавив $64$ к обеим частям.

$9 {(x - 4)}^{2} + 16 {(y + 2)}^{2} = 368 + 144 + 64$

Этап 8

Упростим $368 + 144 + 64$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Добавим $368$ и $144$ .

$9 {(x - 4)}^{2} + 16 {(y + 2)}^{2} = 512 + 64$

Этап 8.2

Добавим $512$ и $64$ .

$9 {(x - 4)}^{2} + 16 {(y + 2)}^{2} = 576$

Этап 9

Разделим каждый член на $576$ , чтобы правая часть была равна единице.

$\frac{9 {(x - 4)}^{2}}{576} + \frac{16 {(y + 2)}^{2}}{576} = \frac{576}{576}$

Этап 10

Упростим каждый член уравнения, чтобы правая часть была равна $1$ . Стандартная форма уравнения эллипса или гиперболы требует, чтобы правая часть уравнения была равна $1$ .

$\frac{{(x - 4)}^{2}}{64} + \frac{{(y + 2)}^{2}}{36} = 1$

Этап 11

Это формула эллипса. Используем эту формулу для определения центра, большой и малой осей эллипса.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Этап 12

Сопоставим параметры эллипса со значениями в стандартной форме. Переменная $a$ представляет большую ось эллипса, $b$ — малую ось, $h$ — сдвиг по оси X от начала координат, а $k$ — сдвиг по оси Y от начала координат.

$a = 8$

$b = 6$

$k = - 2$

$h = 4$

Этап 13

Найдем эксцентриситет по приведенной ниже формуле.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Этап 14

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу.

$\frac{\sqrt{{(8)}^{2} - {(6)}^{2}}}{8}$

Этап 15

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1.1

Возведем $8$ в степень $2$ .

$\frac{\sqrt{64 - 6^{2}}}{8}$

Этап 15.1.2

Возведем $6$ в степень $2$ .

$\frac{\sqrt{64 - 1 \cdot 36}}{8}$

Этап 15.1.3

Умножим $- 1$ на $36$ .

$\frac{\sqrt{64 - 36}}{8}$

Этап 15.1.4

Вычтем $36$ из $64$ .

$\frac{\sqrt{28}}{8}$

Этап 15.1.5

Перепишем $28$ в виде $2^{2} \cdot 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1.5.1

Вынесем множитель $4$ из $28$ .

$\frac{\sqrt{4 (7)}}{8}$

Этап 15.1.5.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2^{2} \cdot 7}}{8}$

Этап 15.1.6

Вынесем члены из-под знака корня.

$\frac{2 \sqrt{7}}{8}$

Этап 15.2

Сократим общий множитель $2$ и $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \sqrt{7}$ .

$\frac{2 (\sqrt{7})}{8}$

Этап 15.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $8$ .

$\frac{2 \sqrt{7}}{2 \cdot 4}$

Этап 15.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \sqrt{7}}{2 \cdot 4}$

Этап 15.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{\sqrt{7}}{4}$

Этап 16

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{\sqrt{7}}{4}$

Десятичная форма:

$0.66143782 \dots$

Этап 17