Основы мат. анализа Примеры

$y = \cos (2 x)$

Этап 1

Поменяем переменные местами.

$x = \cos (2 y)$

Этап 2

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем уравнение в виде $\cos (2 y) = x$ .

$\cos (2 y) = x$

Этап 2.2

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $y$ из косинуса.

$2 y = \arccos (x)$

Этап 2.3

Разделим каждый член $2 y = \arccos (x)$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим каждый член $2 y = \arccos (x)$ на $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{\arccos (x)}{2}$

Этап 2.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 y}{2} = \frac{\arccos (x)}{2}$

Этап 2.3.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{\arccos (x)}{2}$

Этап 3

Заменим $y$ на $f^{- 1} (x)$ , чтобы получить окончательный ответ.

$f^{- 1} (x) = \frac{\arccos (x)}{2}$

Этап 4

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \frac{\arccos (x)}{2}$ обратной к $f (x) = \cos (2 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 4.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 4.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (\cos (2 x))$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\cos (2 x)) = \frac{\arccos (\cos (2 x))}{2}$

Этап 4.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 4.3.2

Найдем значение $f (\frac{\arccos (x)}{2})$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (\frac{\arccos (x)}{2}) = \cos (2 (\frac{\arccos (x)}{2}))$

Этап 4.3.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{\arccos (x)}{2}) = \cos (2 (\frac{\arccos (x)}{2}))$

Этап 4.3.3.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{\arccos (x)}{2}) = \cos (\arccos (x))$

Этап 4.3.4

Косинус и арккосинус — обратные функции.

$f (\frac{\arccos (x)}{2}) = x$

Этап 4.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = \frac{\arccos (x)}{2}$ — обратная к $f (x) = \cos (2 x)$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\arccos (x)}{2}$