Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = \log_{7} (x - x^{10})$

Этап 1

Зададим аргумент в $\log_{7} (x - x^{10})$ большим $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$x - x^{10} > 0$

Этап 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Построим график каждой части уравнения. Решение — абсцисса (координата x) точки пересечения.

$x = 0, 1$

Этап 2.2

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < 0$

$0 < x < 1$

$x > 1$

Этап 2.3

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Проверим значение на интервале $x < 0$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Выберем значение на интервале $x < 0$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 2$

Этап 2.3.1.2

Заменим $x$ на $- 2$ в исходном неравенстве.

$(- 2) - {(- 2)}^{10} > 0$

Этап 2.3.1.3

Левая часть $- 1026$ не больше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 2.3.2

Проверим значение на интервале $0 < x < 1$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Выберем значение на интервале $0 < x < 1$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0.5$

Этап 2.3.2.2

Заменим $x$ на $0.5$ в исходном неравенстве.

$(0.5) - {(0.5)}^{10} > 0$

Этап 2.3.2.3

Левая часть $0.49902343$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 2.3.3

Проверим значение на интервале $x > 1$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Выберем значение на интервале $x > 1$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 4$

Этап 2.3.3.2

Заменим $x$ на $4$ в исходном неравенстве.

$(4) - {(4)}^{10} > 0$

Этап 2.3.3.3

Левая часть $- 1048572$ не больше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 2.3.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < 0$ Ложь

$0 < x < 1$ Истина

$x > 1$ Ложь

$x < 0$ Ложь

$0 < x < 1$ Истина

$x > 1$ Ложь

Этап 2.4

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$0 < x < 1$

Этап 3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$(0, 1)$

Обозначение построения множества:

${x | 0 < x < 1}$

Этап 4