Основы мат. анализа Примеры

$(- 1, - 1)$ , $(1, 2)$

Этап 1

Диаметр круга — это отрезок любой прямой, проходящей через центр круга, концы которого находятся на окружности круга. Даны координаты конечных точек диаметра: $(- 1, - 1)$ и $(1, 2)$ . Центр круга расположен в середине диаметра и является средней точкой между $(- 1, - 1)$ и $(1, 2)$ . В данном случае средняя точка имеет координаты $(0, \frac{1}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Используем формулу медианы, чтобы найти середину отрезка прямой.

$(\frac{x_{1} + x_{2}}{2}, \frac{y_{1} + y_{2}}{2})$

Этап 1.2

Подставим значения вместо $(x_{1}, y_{1})$ и $(x_{2}, y_{2})$ .

$(\frac{- 1 + 1}{2}, \frac{- 1 + 2}{2})$

Этап 1.3

Добавим $- 1$ и $1$ .

$(\frac{0}{2}, \frac{- 1 + 2}{2})$

Этап 1.4

Разделим $0$ на $2$ .

$(0, \frac{- 1 + 2}{2})$

Этап 1.5

Добавим $- 1$ и $2$ .

$(0, \frac{1}{2})$

Этап 2

Найдем радиус $r$ окружности. Радиус — это отрезок прямой между центром окружности и любой ее точкой. В данном случае, $r$ — это расстояние между $(0, \frac{1}{2})$ и $(- 1, - 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Используем формулу расстояния для определения расстояние между этими двумя точками.

$Расстояние = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}}$

Этап 2.2

Подставим фактические значения точек в формулу расстояния.

$r = \sqrt{{((- 1) - 0)}^{2} + {((- 1) - \frac{1}{2})}^{2}}$

Этап 2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Вычтем $0$ из $- 1$ .

$r = \sqrt{{(- 1)}^{2} + {((- 1) - \frac{1}{2})}^{2}}$

Этап 2.3.2

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$r = \sqrt{1 + {((- 1) - \frac{1}{2})}^{2}}$

Этап 2.3.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$r = \sqrt{1 + {(- 1 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2})}^{2}}$

Этап 2.3.4

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$r = \sqrt{1 + {(\frac{- 1 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2})}^{2}}$

Этап 2.3.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$r = \sqrt{1 + {(\frac{- 1 \cdot 2 - 1}{2})}^{2}}$

Этап 2.3.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.6.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$r = \sqrt{1 + {(\frac{- 2 - 1}{2})}^{2}}$

Этап 2.3.6.2

Вычтем $1$ из $- 2$ .

$r = \sqrt{1 + {(\frac{- 3}{2})}^{2}}$

Этап 2.3.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$r = \sqrt{1 + {(- \frac{3}{2})}^{2}}$

Этап 2.3.8

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.8.1

Применим правило умножения к $- \frac{3}{2}$ .

$r = \sqrt{1 + {(- 1)}^{2} {(\frac{3}{2})}^{2}}$

Этап 2.3.8.2

Применим правило умножения к $\frac{3}{2}$ .

$r = \sqrt{1 + {(- 1)}^{2} (\frac{3^{2}}{2^{2}})}$

Этап 2.3.9

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$r = \sqrt{1 + 1 (\frac{3^{2}}{2^{2}})}$

Этап 2.3.10

Умножим $\frac{3^{2}}{2^{2}}$ на $1$ .

$r = \sqrt{1 + \frac{3^{2}}{2^{2}}}$

Этап 2.3.11

Возведем $3$ в степень $2$ .

$r = \sqrt{1 + \frac{9}{2^{2}}}$

Этап 2.3.12

Возведем $2$ в степень $2$ .

$r = \sqrt{1 + \frac{9}{4}}$

Этап 2.3.13

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$r = \sqrt{\frac{4}{4} + \frac{9}{4}}$

Этап 2.3.14

Объединим числители над общим знаменателем.

$r = \sqrt{\frac{4 + 9}{4}}$

Этап 2.3.15

Добавим $4$ и $9$ .

$r = \sqrt{\frac{13}{4}}$

Этап 2.3.16

Перепишем $\sqrt{\frac{13}{4}}$ в виде $\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{4}}$ .

$r = \frac{\sqrt{13}}{\sqrt{4}}$

Этап 2.3.17

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.17.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$r = \frac{\sqrt{13}}{\sqrt{2^{2}}}$

Этап 2.3.17.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$r = \frac{\sqrt{13}}{2}$

Этап 3

${(x - h)}^{2} + {(y - k)}^{2} = r^{2}$ — форма уравнения окружности с радиусом $r$ и центральной точкой $(h, k)$ . В этом случае $r = \frac{\sqrt{13}}{2}$ и центральная точка — $(0, \frac{1}{2})$ . Уравнение окружности: ${(x - (0))}^{2} + {(y - (\frac{1}{2}))}^{2} = {(\frac{\sqrt{13}}{2})}^{2}$ .

${(x - (0))}^{2} + {(y - (\frac{1}{2}))}^{2} = {(\frac{\sqrt{13}}{2})}^{2}$

Этап 4

Уравнение окружности имеет вид ${(x - 0)}^{2} + {(y - \frac{1}{2})}^{2} = \frac{13}{4}$ .

${(x - 0)}^{2} + {(y - \frac{1}{2})}^{2} = \frac{13}{4}$

Этап 5

Упростим уравнение окружности.

$x^{2} + {(y - \frac{1}{2})}^{2} = \frac{13}{4}$

Этап 6