Основы мат. анализа Примеры

$y = \sin^{2} (2 x) + \frac{1}{2} \cos (4 x)$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\sin^{2} (2 x) + \frac{1}{2} \cdot \cos (4 x))$

Этап 2

Производная $y$ по $x$ равна $y'$ .

$y'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $\sin^{2} (2 x) + \frac{1}{2} \cdot \cos (4 x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\sin^{2} (2 x)] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} \cdot \cos (4 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\sin^{2} (2 x)] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} \cdot \cos (4 x)]$

Этап 3.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\sin^{2} (2 x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = \sin (2 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $\sin (2 x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} \cdot \cos (4 x)]$

Этап 3.2.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 u_{1} \frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} \cdot \cos (4 x)]$

Этап 3.2.1.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $\sin (2 x)$ .

$2 \sin (2 x) \frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} \cdot \cos (4 x)]$

Этап 3.2.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $2 x$ .

$2 \sin (2 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} \cdot \cos (4 x)]$

Этап 3.2.2.2

Производная $\sin (u_{2})$ по $u_{2}$ равна $\cos (u_{2})$ .

$2 \sin (2 x) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} \cdot \cos (4 x)]$

Этап 3.2.2.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $2 x$ .

$2 \sin (2 x) (\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} \cdot \cos (4 x)]$

Этап 3.2.3

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \sin (2 x) (\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} \cdot \cos (4 x)]$

Этап 3.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \sin (2 x) (\cos (2 x) (2 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} \cdot \cos (4 x)]$

Этап 3.2.5

Умножим $2$ на $1$ .

$2 \sin (2 x) (\cos (2 x) \cdot 2) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} \cdot \cos (4 x)]$

Этап 3.2.6

Перенесем $2$ влево от $\cos (2 x)$ .

$2 \sin (2 x) (2 \cdot \cos (2 x)) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} \cdot \cos (4 x)]$

Этап 3.2.7

Умножим $2$ на $2$ .

$4 \sin (2 x) \cos (2 x) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} \cdot \cos (4 x)]$

Этап 3.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} \cdot \cos (4 x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Поскольку $\frac{1}{2}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{1}{2} \cdot \cos (4 x)$ по $x$ равна $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\cos (4 x)]$ .

$4 \sin (2 x) \cos (2 x) + \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\cos (4 x)]$

Этап 3.3.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{3}$ как $4 x$ .

$4 \sin (2 x) \cos (2 x) + \frac{1}{2} (\frac{d}{d u_{3}} [\cos (u_{3})] \frac{d}{d x} [4 x])$

Этап 3.3.2.2

Производная $\cos (u_{3})$ по $u_{3}$ равна $- \sin (u_{3})$ .

$4 \sin (2 x) \cos (2 x) + \frac{1}{2} (- \sin (u_{3}) \frac{d}{d x} [4 x])$

Этап 3.3.2.3

Заменим все вхождения $u_{3}$ на $4 x$ .

$4 \sin (2 x) \cos (2 x) + \frac{1}{2} (- \sin (4 x) \frac{d}{d x} [4 x])$

Этап 3.3.3

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \sin (2 x) \cos (2 x) + \frac{1}{2} (- \sin (4 x) (4 \frac{d}{d x} [x]))$

Этап 3.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$4 \sin (2 x) \cos (2 x) + \frac{1}{2} (- \sin (4 x) (4 \cdot 1))$

Этап 3.3.5

Умножим $4$ на $1$ .

$4 \sin (2 x) \cos (2 x) + \frac{1}{2} (- \sin (4 x) \cdot 4)$

Этап 3.3.6

Умножим $4$ на $- 1$ .

$4 \sin (2 x) \cos (2 x) + \frac{1}{2} (- 4 \sin (4 x))$

Этап 3.3.7

Объединим $- 4$ и $\frac{1}{2}$ .

$4 \sin (2 x) \cos (2 x) + \frac{- 4}{2} \sin (4 x)$

Этап 3.3.8

Объединим $\frac{- 4}{2}$ и $\sin (4 x)$ .

$4 \sin (2 x) \cos (2 x) + \frac{- 4 \sin (4 x)}{2}$

Этап 3.3.9

Сократим общий множитель $- 4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.9.1

Вынесем множитель $2$ из $- 4 \sin (4 x)$ .

$4 \sin (2 x) \cos (2 x) + \frac{2 (- 2 \sin (4 x))}{2}$

Этап 3.3.9.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.9.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$4 \sin (2 x) \cos (2 x) + \frac{2 (- 2 \sin (4 x))}{2 (1)}$

Этап 3.3.9.2.2

Сократим общий множитель.

$4 \sin (2 x) \cos (2 x) + \frac{2 (- 2 \sin (4 x))}{2 \cdot 1}$

Этап 3.3.9.2.3

Перепишем это выражение.

$4 \sin (2 x) \cos (2 x) + \frac{- 2 \sin (4 x)}{1}$

Этап 3.3.9.2.4

Разделим $- 2 \sin (4 x)$ на $1$ .

$4 \sin (2 x) \cos (2 x) - 2 \sin (4 x)$

Этап 3.4

Изменим порядок членов.

$4 \cos (2 x) \sin (2 x) - 2 \sin (4 x)$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$y' = 4 \cos (2 x) \sin (2 x) - 2 \sin (4 x)$

Этап 5

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 4 \cos (2 x) \sin (2 x) - 2 \sin (4 x)$