Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = 4 \sin (2 x) - 3$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $4 \sin (2 x) - 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4 \sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{d}{d x} [4 \sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 \sin (2 x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 \sin (2 x)$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \sin (x)$ и $g (x) = 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $2 x$ .

$4 (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- 3]$

Этап 1.2.2.2

Производная $\sin (u)$ по $u$ равна $\cos (u)$ .

$4 (\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- 3]$

Этап 1.2.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $2 x$ .

$4 (\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- 3]$

Этап 1.2.3

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 (\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [- 3]$

Этап 1.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$4 (\cos (2 x) (2 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [- 3]$

Этап 1.2.5

Умножим $2$ на $1$ .

$4 (\cos (2 x) \cdot 2) + \frac{d}{d x} [- 3]$

Этап 1.2.6

Перенесем $2$ влево от $\cos (2 x)$ .

$4 (2 \cdot \cos (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 3]$

Этап 1.2.7

Умножим $2$ на $4$ .

$8 \cos (2 x) + \frac{d}{d x} [- 3]$

Этап 1.3

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3$ относительно $x$ равна $0$ .

$8 \cos (2 x) + 0$

Этап 1.3.2

Добавим $8 \cos (2 x)$ и $0$ .

$8 \cos (2 x)$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $8$ является константой относительно $x$ , производная $8 \cos (2 x)$ по $x$ равна $8 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

$f'' (x) = 8 \frac{d}{d x} (\cos (2 x))$

Этап 2.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $2 x$ .

$f'' (x) = 8 (\frac{d}{d u} (\cos (u)) \frac{d}{d x} (2 x))$

Этап 2.2.2

Производная $\cos (u)$ по $u$ равна $- \sin (u)$ .

$f'' (x) = 8 (- \sin (u) \frac{d}{d x} (2 x))$

Этап 2.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $2 x$ .

$f'' (x) = 8 (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} (2 x))$

Этап 2.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Умножим $- 1$ на $8$ .

$f'' (x) = - 8 (\sin (2 x) \frac{d}{d x} (2 x))$

Этап 2.3.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 8 \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x))$

Этап 2.3.3

Умножим $2$ на $- 8$ .

$f'' (x) = - 16 \sin (2 x) \frac{d}{d x} x$

Этап 2.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = - 16 \sin (2 x) \cdot 1$

Этап 2.3.5

Умножим $- 16$ на $1$ .

$f'' (x) = - 16 \sin (2 x)$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$8 \cos (2 x) = 0$

Этап 4

Разделим каждый член $8 \cos (2 x) = 0$ на $8$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Разделим каждый член $8 \cos (2 x) = 0$ на $8$ .

$\frac{8 \cos (2 x)}{8} = \frac{0}{8}$

Этап 4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Сократим общий множитель $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{8 \cos (2 x)}{8} = \frac{0}{8}$

Этап 4.2.1.2

Разделим $\cos (2 x)$ на $1$ .

$\cos (2 x) = \frac{0}{8}$

Этап 4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Разделим $0$ на $8$ .

$\cos (2 x) = 0$

Этап 5

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из косинуса.

$2 x = \arccos (0)$

Этап 6

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Точное значение $\arccos (0)$ : $\frac{π}{2}$ .

$2 x = \frac{π}{2}$

Этап 7

Разделим каждый член $2 x = \frac{π}{2}$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Разделим каждый член $2 x = \frac{π}{2}$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Этап 7.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Этап 7.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Этап 7.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Этап 7.3.2

Умножим $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.1

Умножим $\frac{π}{2}$ на $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{π}{2 \cdot 2}$

Этап 7.3.2.2

Умножим $2$ на $2$ .

$x = \frac{π}{4}$

Этап 8

Функция косинуса положительна в первом и четвертом квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$2 x = 2 π - \frac{π}{2}$

Этап 9

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$2 x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 9.1.2

Объединим $2 π$ и $\frac{2}{2}$ .

$2 x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 9.1.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$2 x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Этап 9.1.4

Умножим $2$ на $2$ .

$2 x = \frac{4 π - π}{2}$

Этап 9.1.5

Вычтем $π$ из $4 π$ .

$2 x = \frac{3 π}{2}$

Этап 9.2

Разделим каждый член $2 x = \frac{3 π}{2}$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Разделим каждый член $2 x = \frac{3 π}{2}$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Этап 9.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Этап 9.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Этап 9.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$x = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Этап 9.2.3.2

Умножим $\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.3.2.1

Умножим $\frac{3 π}{2}$ на $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{3 π}{2 \cdot 2}$

Этап 9.2.3.2.2

Умножим $2$ на $2$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Этап 10

Решение уравнения $2 x = \frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{4}, \frac{3 π}{4}$

Этап 11

Найдем вторую производную в $x = \frac{π}{4}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- 16 \sin (2 (\frac{π}{4}))$

Этап 12

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$- 16 \sin (2 \frac{π}{2 (2)})$

Этап 12.1.2

Сократим общий множитель.

$- 16 \sin (2 \frac{π}{2 \cdot 2})$

Этап 12.1.3

Перепишем это выражение.

$- 16 \sin (\frac{π}{2})$

Этап 12.2

Точное значение $\sin (\frac{π}{2})$ : $1$ .

$- 16 \cdot 1$

Этап 12.3

Умножим $- 16$ на $1$ .

$- 16$

Этап 13

$x = \frac{π}{4}$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = \frac{π}{4}$ — локальный максимум

Этап 14

Найдем значение y, если $x = \frac{π}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{π}{4}$ .

$f (\frac{π}{4}) = 4 \sin (2 (\frac{π}{4})) - 3$

Этап 14.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.1.1.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$f (\frac{π}{4}) = 4 \sin (2 (\frac{π}{2 (2)})) - 3$

Этап 14.2.1.1.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{π}{4}) = 4 \sin (2 (\frac{π}{2 \cdot 2})) - 3$

Этап 14.2.1.1.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{π}{4}) = 4 \sin (\frac{π}{2}) - 3$

Этап 14.2.1.2

Точное значение $\sin (\frac{π}{2})$ : $1$ .

$f (\frac{π}{4}) = 4 \cdot 1 - 3$

Этап 14.2.1.3

Умножим $4$ на $1$ .

$f (\frac{π}{4}) = 4 - 3$

Этап 14.2.2

Вычтем $3$ из $4$ .

$f (\frac{π}{4}) = 1$

Этап 14.2.3

Окончательный ответ: $1$ .

$y = 1$

Этап 15

Найдем вторую производную в $x = \frac{3 π}{4}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- 16 \sin (2 (\frac{3 π}{4}))$

Этап 16

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$- 16 \sin (2 \frac{3 π}{2 (2)})$

Этап 16.1.2

Сократим общий множитель.

$- 16 \sin (2 \frac{3 π}{2 \cdot 2})$

Этап 16.1.3

Перепишем это выражение.

$- 16 \sin (\frac{3 π}{2})$

Этап 16.2

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как синус отрицательный в четвертом квадранте.

$- 16 (- \sin (\frac{π}{2}))$

Этап 16.3

Точное значение $\sin (\frac{π}{2})$ : $1$ .

$- 16 (- 1 \cdot 1)$

Этап 16.4

Умножим $- 16 (- 1 \cdot 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.4.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- 16 \cdot - 1$

Этап 16.4.2

Умножим $- 16$ на $- 1$ .

$16$

Этап 17

$x = \frac{3 π}{4}$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = \frac{3 π}{4}$ — локальный минимум

Этап 18

Найдем значение y, если $x = \frac{3 π}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{3 π}{4}$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = 4 \sin (2 (\frac{3 π}{4})) - 3$

Этап 18.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.2.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.2.1.1.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = 4 \sin (2 (\frac{3 π}{2 (2)})) - 3$

Этап 18.2.1.1.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{3 π}{4}) = 4 \sin (2 (\frac{3 π}{2 \cdot 2})) - 3$

Этап 18.2.1.1.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{3 π}{4}) = 4 \sin (\frac{3 π}{2}) - 3$

Этап 18.2.1.2

$f (\frac{3 π}{4}) = 4 (- \sin (\frac{π}{2})) - 3$

Этап 18.2.1.3

Точное значение $\sin (\frac{π}{2})$ : $1$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = 4 (- 1 \cdot 1) - 3$

Этап 18.2.1.4

Умножим $4 (- 1 \cdot 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.2.1.4.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = 4 \cdot - 1 - 3$

Этап 18.2.1.4.2

Умножим $4$ на $- 1$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = - 4 - 3$

Этап 18.2.2

Вычтем $3$ из $- 4$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = - 7$

Этап 18.2.3

Окончательный ответ: $- 7$ .

$y = - 7$

Этап 19

Это локальные экстремумы $f (x) = 4 \sin (2 x) - 3$ .

$(\frac{π}{4}, 1)$ — локальный максимум

$(\frac{3 π}{4}, - 7)$ — локальный минимум

Этап 20