Основы мат. анализа Примеры

$9 x^{4} - 97 x^{2} + 144 \leq 0$

Этап 1

Подставим $u = x^{2}$ в уравнение. Это упростит использование формулы для корней квадратного уравнения.

$9 u^{2} - 97 u + 144 = 0$

$u = x^{2}$

Этап 2

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 9 \cdot 144 = 1296$ , а сумма — $b = - 97$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Вынесем множитель $- 97$ из $- 97 u$ .

$9 u^{2} - 97 u + 144 = 0$

Этап 2.1.2

Запишем $- 97$ как $- 16$ плюс $- 81$

$9 u^{2} + (- 16 - 81) u + 144 = 0$

Этап 2.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$9 u^{2} - 16 u - 81 u + 144 = 0$

Этап 2.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(9 u^{2} - 16 u) - 81 u + 144 = 0$

Этап 2.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$u (9 u - 16) - 9 (9 u - 16) = 0$

Этап 2.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $9 u - 16$ .

$(9 u - 16) (u - 9) = 0$

Этап 3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$9 u - 16 = 0$

$u - 9 = 0$

Этап 4

Приравняем $9 u - 16$ к $0$ , затем решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Приравняем $9 u - 16$ к $0$ .

$9 u - 16 = 0$

Этап 4.2

Решим $9 u - 16 = 0$ относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Добавим $16$ к обеим частям уравнения.

$9 u = 16$

Этап 4.2.2

Разделим каждый член $9 u = 16$ на $9$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Разделим каждый член $9 u = 16$ на $9$ .

$\frac{9 u}{9} = \frac{16}{9}$

Этап 4.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.2.1

Сократим общий множитель $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{9 u}{9} = \frac{16}{9}$

Этап 4.2.2.2.1.2

Разделим $u$ на $1$ .

$u = \frac{16}{9}$

Этап 5

Приравняем $u - 9$ к $0$ , затем решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Приравняем $u - 9$ к $0$ .

$u - 9 = 0$

Этап 5.2

Добавим $9$ к обеим частям уравнения.

$u = 9$

Этап 6

Окончательным решением являются все значения, при которых $(9 u - 16) (u - 9) = 0$ верно.

$u = \frac{16}{9}, 9$

Этап 7

Подставим вещественное значение $u = x^{2}$ обратно в решенное уравнение.

$x^{2} = \frac{16}{9}$

${(x^{2})}^{1} = 9$

Этап 8

Решим первое уравнение относительно $x$ .

$x^{2} = \frac{16}{9}$

Этап 9

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{16}{9}}$

Этап 9.2

Упростим $\pm \sqrt{\frac{16}{9}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Перепишем $\sqrt{\frac{16}{9}}$ в виде $\frac{\sqrt{16}}{\sqrt{9}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{16}}{\sqrt{9}}$

Этап 9.2.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.1

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{4^{2}}}{\sqrt{9}}$

Этап 9.2.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm \frac{4}{\sqrt{9}}$

Этап 9.2.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.3.1

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$x = \pm \frac{4}{\sqrt{3^{2}}}$

Этап 9.2.3.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm \frac{4}{3}$

Этап 9.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = \frac{4}{3}$

Этап 9.3.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - \frac{4}{3}$

Этап 9.3.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \frac{4}{3}, - \frac{4}{3}$

Этап 10

Решим второе уравнение относительно $x$ .

${(x^{2})}^{1} = 9$

Этап 11

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Избавимся от скобок.

$x^{2} = 9$

Этап 11.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{9}$

Этап 11.3

Упростим $\pm \sqrt{9}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{3^{2}}$

Этап 11.3.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 3$

Этап 11.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 3$

Этап 11.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 3$

Этап 11.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 3, - 3$

Этап 12

Решением $9 x^{4} - 97 x^{2} + 144 = 0$ является $x = \frac{4}{3}, - \frac{4}{3}, 3, - 3$ .

$x = \frac{4}{3}, - \frac{4}{3}, 3, - 3$

Этап 13

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - 3$

$- 3 < x < - \frac{4}{3}$

$- \frac{4}{3} < x < \frac{4}{3}$

$\frac{4}{3} < x < 3$

$x > 3$

Этап 14

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Проверим значение на интервале $x < - 3$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1.1

Выберем значение на интервале $x < - 3$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 6$

Этап 14.1.2

Заменим $x$ на $- 6$ в исходном неравенстве.

$9 {(- 6)}^{4} - 97 {(- 6)}^{2} + 144 \leq 0$

Этап 14.1.3

Левая часть $8316$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 14.2

Проверим значение на интервале $- 3 < x < - \frac{4}{3}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.1

Выберем значение на интервале $- 3 < x < - \frac{4}{3}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 2$

Этап 14.2.2

Заменим $x$ на $- 2$ в исходном неравенстве.

$9 {(- 2)}^{4} - 97 {(- 2)}^{2} + 144 \leq 0$

Этап 14.2.3

Левая часть $- 100$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 14.3

Проверим значение на интервале $- \frac{4}{3} < x < \frac{4}{3}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.3.1

Выберем значение на интервале $- \frac{4}{3} < x < \frac{4}{3}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 14.3.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$9 {(0)}^{4} - 97 {(0)}^{2} + 144 \leq 0$

Этап 14.3.3

Левая часть $144$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 14.4

Проверим значение на интервале $\frac{4}{3} < x < 3$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.4.1

Выберем значение на интервале $\frac{4}{3} < x < 3$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 2$

Этап 14.4.2

Заменим $x$ на $2$ в исходном неравенстве.

$9 {(2)}^{4} - 97 {(2)}^{2} + 144 \leq 0$

Этап 14.4.3

Левая часть $- 100$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 14.5

Проверим значение на интервале $x > 3$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.5.1

Выберем значение на интервале $x > 3$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 6$

Этап 14.5.2

Заменим $x$ на $6$ в исходном неравенстве.

$9 {(6)}^{4} - 97 {(6)}^{2} + 144 \leq 0$

Этап 14.5.3

Левая часть $8316$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 14.6

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - 3$ Ложь

$- 3 < x < - \frac{4}{3}$ Истина

$- \frac{4}{3} < x < \frac{4}{3}$ Ложь

$\frac{4}{3} < x < 3$ Истина

$x > 3$ Ложь

$x < - 3$ Ложь

$- 3 < x < - \frac{4}{3}$ Истина

$- \frac{4}{3} < x < \frac{4}{3}$ Ложь

$\frac{4}{3} < x < 3$ Истина

$x > 3$ Ложь

Этап 15

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$- 3 \leq x \leq - \frac{4}{3}$ или $\frac{4}{3} \leq x \leq 3$

Этап 16

Преобразуем неравенство в интервальное представление.

$[- 3, - \frac{4}{3}] \cup [\frac{4}{3}, 3]$

Этап 17