Основы мат. анализа Примеры

$\frac{- 1}{x - 6} < \frac{2}{9 - x}$

Этап 1

Вычтем $\frac{2}{9 - x}$ из обеих частей неравенства.

$\frac{- 1}{x - 6} - \frac{2}{9 - x} < 0$

Этап 2

Упростим $\frac{- 1}{x - 6} - \frac{2}{9 - x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{x - 6} - \frac{2}{9 - x} < 0$

Этап 2.2

Чтобы записать $- \frac{1}{x - 6}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{9 - x}{9 - x}$ .

$- \frac{1}{x - 6} \cdot \frac{9 - x}{9 - x} - \frac{2}{9 - x} < 0$

Этап 2.3

Чтобы записать $- \frac{2}{9 - x}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x - 6}{x - 6}$ .

$- \frac{1}{x - 6} \cdot \frac{9 - x}{9 - x} - \frac{2}{9 - x} \cdot \frac{x - 6}{x - 6} < 0$

Этап 2.4

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(x - 6) (9 - x)$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Умножим $\frac{1}{x - 6}$ на $\frac{9 - x}{9 - x}$ .

$- \frac{9 - x}{(x - 6) (9 - x)} - \frac{2}{9 - x} \cdot \frac{x - 6}{x - 6} < 0$

Этап 2.4.2

Умножим $\frac{2}{9 - x}$ на $\frac{x - 6}{x - 6}$ .

$- \frac{9 - x}{(x - 6) (9 - x)} - \frac{2 (x - 6)}{(9 - x) (x - 6)} < 0$

Этап 2.4.3

Изменим порядок множителей в $(x - 6) (9 - x)$ .

$- \frac{9 - x}{(9 - x) (x - 6)} - \frac{2 (x - 6)}{(9 - x) (x - 6)} < 0$

Этап 2.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- (9 - x) - 2 (x - 6)}{(9 - x) (x - 6)} < 0$

Этап 2.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- (9 - x) - 2 (x - 6)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1.1

Изменим порядок $9$ и $- x$ .

$\frac{- (- x + 9) - 2 (x - 6)}{(9 - x) (x - 6)} < 0$

Этап 2.6.1.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- 2 (x - 6)$ .

$\frac{- (- x + 9) - (2 (x - 6))}{(9 - x) (x - 6)} < 0$

Этап 2.6.1.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- (- x + 9) - (2 (x - 6))$ .

$\frac{- (- x + 9 + 2 (x - 6))}{(9 - x) (x - 6)} < 0$

Этап 2.6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- (- x + 9 + 2 x + 2 \cdot - 6)}{(9 - x) (x - 6)} < 0$

Этап 2.6.3

Умножим $2$ на $- 6$ .

$\frac{- (- x + 9 + 2 x - 12)}{(9 - x) (x - 6)} < 0$

Этап 2.6.4

Добавим $- x$ и $2 x$ .

$\frac{- (x + 9 - 12)}{(9 - x) (x - 6)} < 0$

Этап 2.6.5

Вычтем $12$ из $9$ .

$\frac{- (x - 3)}{(9 - x) (x - 6)} < 0$

Этап 2.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{x - 3}{(9 - x) (x - 6)} < 0$

Этап 3

Найдем все значения, где выражение переменяет знак с отрицательного на положительный. Для этого приравняем каждый множитель к $0$ и решим.

$x - 3 = 0$

$9 - x = 0$

$x - 6 = 0$

Этап 4

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$x = 3$

Этап 5

Вычтем $9$ из обеих частей уравнения.

$- x = - 9$

Этап 6

Разделим каждый член $- x = - 9$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Разделим каждый член $- x = - 9$ на $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 9}{- 1}$

Этап 6.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} = \frac{- 9}{- 1}$

Этап 6.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 9}{- 1}$

Этап 6.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Разделим $- 9$ на $- 1$ .

$x = 9$

Этап 7

Добавим $6$ к обеим частям уравнения.

$x = 6$

Этап 8

Решим для каждого множителя, чтобы найти значения, при которых выражение абсолютного значения переходит от отрицательного значения к положительному.

$x = 3$

$x = 9$

$x = 6$

Этап 9

Объединим решения.

$x = 3, 9, 6$

Этап 10

Найдем область определения $- \frac{x - 3}{(9 - x) (x - 6)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Зададим знаменатель в $\frac{x - 3}{(9 - x) (x - 6)}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$(9 - x) (x - 6) = 0$

Этап 10.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$9 - x = 0$

$x - 6 = 0$

Этап 10.2.2

Приравняем $9 - x$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.1

Приравняем $9 - x$ к $0$ .

$9 - x = 0$

Этап 10.2.2.2

Решим $9 - x = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.2.1

Вычтем $9$ из обеих частей уравнения.

$- x = - 9$

Этап 10.2.2.2.2

Разделим каждый член $- x = - 9$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.2.2.1

Разделим каждый член $- x = - 9$ на $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 9}{- 1}$

Этап 10.2.2.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.2.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} = \frac{- 9}{- 1}$

Этап 10.2.2.2.2.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 9}{- 1}$

Этап 10.2.2.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.2.2.3.1

Разделим $- 9$ на $- 1$ .

$x = 9$

Этап 10.2.3

Приравняем $x - 6$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.3.1

Приравняем $x - 6$ к $0$ .

$x - 6 = 0$

Этап 10.2.3.2

Добавим $6$ к обеим частям уравнения.

$x = 6$

Этап 10.2.4

Окончательным решением являются все значения, при которых $(9 - x) (x - 6) = 0$ верно.

$x = 9, 6$

Этап 10.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, 6) \cup (6, 9) \cup (9, \infty)$

Этап 11

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < 3$

$3 < x < 6$

$6 < x < 9$

$x > 9$

Этап 12

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Проверим значение на интервале $x < 3$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1

Выберем значение на интервале $x < 3$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 12.1.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$\frac{- 1}{(0) - 6} < \frac{2}{9 - (0)}$

Этап 12.1.3

Левая часть $0.1\overline{6}$ меньше правой части $0.\overline{2}$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 12.2

Проверим значение на интервале $3 < x < 6$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Выберем значение на интервале $3 < x < 6$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 4$

Этап 12.2.2

Заменим $x$ на $4$ в исходном неравенстве.

$\frac{- 1}{(4) - 6} < \frac{2}{9 - (4)}$

Этап 12.2.3

Левая часть $0.5$ не меньше правой части $0.4$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 12.3

Проверим значение на интервале $6 < x < 9$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.1

Выберем значение на интервале $6 < x < 9$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 8$

Этап 12.3.2

Заменим $x$ на $8$ в исходном неравенстве.

$\frac{- 1}{(8) - 6} < \frac{2}{9 - (8)}$

Этап 12.3.3

Левая часть $- 0.5$ меньше правой части $2$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 12.4

Проверим значение на интервале $x > 9$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.4.1

Выберем значение на интервале $x > 9$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 12$

Этап 12.4.2

Заменим $x$ на $12$ в исходном неравенстве.

$\frac{- 1}{(12) - 6} < \frac{2}{9 - (12)}$

Этап 12.4.3

Левая часть $- 0.1\overline{6}$ не меньше правой части $- 0.\overline{6}$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 12.5

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < 3$ Истина

$3 < x < 6$ Ложь

$6 < x < 9$ Истина

$x > 9$ Ложь

$x < 3$ Истина

$3 < x < 6$ Ложь

$6 < x < 9$ Истина

$x > 9$ Ложь

Этап 13

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x < 3$ или $6 < x < 9$

Этап 14

Преобразуем неравенство в интервальное представление.

$(- \infty, 3) \cup (6, 9)$

Этап 15