Основы мат. анализа Примеры

$\sin (θ) (\tan (θ) + \cot (θ)) = \sec (θ)$

Этап 1

Начнем с левой части.

$\sin (θ) (\tan (θ) + \cot (θ))$

Этап 2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Выразим $\tan (θ)$ через синусы и косинусы.

$\sin (θ) (\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} + \cot (θ))$

Этап 2.1.2

Выразим $\cot (θ)$ через синусы и косинусы.

$\sin (θ) (\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)})$

Этап 2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\sin (θ) \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} + \sin (θ) \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$

Этап 2.3

Умножим $\sin (θ) \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Объединим $\sin (θ)$ и $\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}$ .

$\frac{\sin (θ) \sin (θ)}{\cos (θ)} + \sin (θ) \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$

Этап 2.3.2

Возведем $\sin (θ)$ в степень $1$ .

$\frac{\sin^{1} (θ) \sin (θ)}{\cos (θ)} + \sin (θ) \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$

Этап 2.3.3

Возведем $\sin (θ)$ в степень $1$ .

$\frac{\sin^{1} (θ) \sin^{1} (θ)}{\cos (θ)} + \sin (θ) \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$

Этап 2.3.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{{\sin (θ)}^{1 + 1}}{\cos (θ)} + \sin (θ) \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$

Этап 2.3.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\sin^{2} (θ)}{\cos (θ)} + \sin (θ) \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$

Этап 2.4

Сократим общий множитель $\sin (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\sin^{2} (θ)}{\cos (θ)} + \sin (θ) \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$

Этап 2.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\sin^{2} (θ)}{\cos (θ)} + \cos (θ)$

Этап 3

Применим формулу Пифагора в обратном направлении.

$\frac{1 - \cos^{2} (θ)}{\cos (θ)} + \cos (θ)$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\frac{1^{2} - {\cos (θ)}^{2}}{\cos (θ)} + \cos (θ)$

Этап 4.1.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 1$ и $b = \cos (θ)$ .

$\frac{(1 + \cos (θ)) (1 - \cos (θ))}{\cos (θ)} + \cos (θ)$

Этап 4.2

Чтобы записать $\cos (θ)$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{\cos (θ)}{\cos (θ)}$ .

$\frac{(1 + \cos (θ)) (1 - \cos (θ))}{\cos (θ)} + \frac{\cos (θ) \cos (θ)}{\cos (θ)}$

Этап 4.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{(1 + \cos (θ)) (1 - \cos (θ)) + \cos (θ) \cos (θ)}{\cos (θ)}$

Этап 4.4

Упростим числитель.

$\frac{1}{\cos (θ)}$

Этап 5

Перепишем $\frac{1}{\cos (θ)}$ в виде $\sec (θ)$ .

$\sec (θ)$

Этап 6

Поскольку была показана эквивалентность обеих сторон, уравнение является тождеством.

$\sin (θ) (\tan (θ) + \cot (θ)) = \sec (θ)$ — тождество