Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = \sqrt{\frac{x}{2 x - 1} - 1}$

Этап 1

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{\frac{x}{2 x - 1} - 1}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$\frac{x}{2 x - 1} - 1 \geq 0$

Этап 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим $\frac{x}{2 x - 1} - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2 x - 1}{2 x - 1}$ .

$\frac{x}{2 x - 1} - 1 \cdot \frac{2 x - 1}{2 x - 1} \geq 0$

Этап 2.1.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Объединим $- 1$ и $\frac{2 x - 1}{2 x - 1}$ .

$\frac{x}{2 x - 1} + \frac{- (2 x - 1)}{2 x - 1} \geq 0$

Этап 2.1.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{x - (2 x - 1)}{2 x - 1} \geq 0$

Этап 2.1.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x - (2 x) - - 1}{2 x - 1} \geq 0$

Этап 2.1.3.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{x - 2 x - - 1}{2 x - 1} \geq 0$

Этап 2.1.3.3

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{x - 2 x + 1}{2 x - 1} \geq 0$

Этап 2.1.3.4

Вычтем $2 x$ из $x$ .

$\frac{- x + 1}{2 x - 1} \geq 0$

Этап 2.1.4

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- x$ .

$\frac{- (x) + 1}{2 x - 1} \geq 0$

Этап 2.1.4.2

Перепишем $1$ в виде $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- (x) - 1 (- 1)}{2 x - 1} \geq 0$

Этап 2.1.4.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x) - 1 (- 1)$ .

$\frac{- (x - 1)}{2 x - 1} \geq 0$

Этап 2.1.4.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.4.1

Перепишем $- (x - 1)$ в виде $- 1 (x - 1)$ .

$\frac{- 1 (x - 1)}{2 x - 1} \geq 0$

Этап 2.1.4.4.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{x - 1}{2 x - 1} \geq 0$

Этап 2.2

Найдем все значения, где выражение переменяет знак с отрицательного на положительный. Для этого приравняем каждый множитель к $0$ и решим.

$x - 1 = 0$

$2 x - 1 = 0$

Этап 2.3

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = 1$

Этап 2.4

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$2 x = 1$

Этап 2.5

Разделим каждый член $2 x = 1$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Разделим каждый член $2 x = 1$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Этап 2.5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Этап 2.5.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Этап 2.6

Решим для каждого множителя, чтобы найти значения, при которых выражение абсолютного значения переходит от отрицательного значения к положительному.

$x = 1$

$x = \frac{1}{2}$

Этап 2.7

Объединим решения.

$x = 1, \frac{1}{2}$

Этап 2.8

Найдем область определения $\frac{x}{2 x - 1} - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Зададим знаменатель в $\frac{x}{2 x - 1}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$2 x - 1 = 0$

Этап 2.8.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$2 x = 1$

Этап 2.8.2.2

Разделим каждый член $2 x = 1$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.2.2.1

Разделим каждый член $2 x = 1$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Этап 2.8.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Этап 2.8.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Этап 2.8.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, \frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2}, \infty)$

Этап 2.9

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < \frac{1}{2}$

$\frac{1}{2} < x < 1$

$x > 1$

Этап 2.10

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.1

Проверим значение на интервале $x < \frac{1}{2}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.1.1

Выберем значение на интервале $x < \frac{1}{2}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 2.10.1.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$\frac{0}{2 (0) - 1} - 1 \geq 0$

Этап 2.10.1.3

Левая часть $- 1$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 2.10.2

Проверим значение на интервале $\frac{1}{2} < x < 1$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.2.1

Выберем значение на интервале $\frac{1}{2} < x < 1$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0.75$

Этап 2.10.2.2

Заменим $x$ на $0.75$ в исходном неравенстве.

$\frac{0.75}{2 (0.75) - 1} - 1 \geq 0$

Этап 2.10.2.3

Левая часть $0.5$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 2.10.3

Проверим значение на интервале $x > 1$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.3.1

Выберем значение на интервале $x > 1$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 4$

Этап 2.10.3.2

Заменим $x$ на $4$ в исходном неравенстве.

$\frac{4}{2 (4) - 1} - 1 \geq 0$

Этап 2.10.3.3

Левая часть $- 0.\overline{428571}$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 2.10.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < \frac{1}{2}$ Ложь

$\frac{1}{2} < x < 1$ Истина

$x > 1$ Ложь

$x < \frac{1}{2}$ Ложь

$\frac{1}{2} < x < 1$ Истина

$x > 1$ Ложь

Этап 2.11

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$\frac{1}{2} < x \leq 1$

Этап 3

Зададим знаменатель в $\frac{x}{2 x - 1}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$2 x - 1 = 0$

Этап 4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$2 x = 1$

Этап 4.2

Разделим каждый член $2 x = 1$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Разделим каждый член $2 x = 1$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Этап 4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Этап 4.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Этап 5

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$(\frac{1}{2}, 1]$

Обозначение построения множества:

${x | \frac{1}{2} < x \leq 1}$

Этап 6