Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = 9 x^{4} - 9 x^{3} - 58 x^{2} + 4 x + 24$

Этап 1

Приравняем $9 x^{4} - 9 x^{3} - 58 x^{2} + 4 x + 24$ к $0$ .

$9 x^{4} - 9 x^{3} - 58 x^{2} + 4 x + 24 = 0$

Этап 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Перегруппируем члены.

$- 9 x^{3} + 4 x + 9 x^{4} - 58 x^{2} + 24 = 0$

Этап 2.1.2

Вынесем множитель $- x$ из $- 9 x^{3} + 4 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Вынесем множитель $- x$ из $- 9 x^{3}$ .

$- x (9 x^{2}) + 4 x + 9 x^{4} - 58 x^{2} + 24 = 0$

Этап 2.1.2.2

Вынесем множитель $- x$ из $4 x$ .

$- x (9 x^{2}) - x \cdot - 4 + 9 x^{4} - 58 x^{2} + 24 = 0$

Этап 2.1.2.3

Вынесем множитель $- x$ из $- x (9 x^{2}) - x (- 4)$ .

$- x (9 x^{2} - 4) + 9 x^{4} - 58 x^{2} + 24 = 0$

Этап 2.1.3

Перепишем $9 x^{2}$ в виде ${(3 x)}^{2}$ .

$- x ({(3 x)}^{2} - 4) + 9 x^{4} - 58 x^{2} + 24 = 0$

Этап 2.1.4

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$- x ({(3 x)}^{2} - 2^{2}) + 9 x^{4} - 58 x^{2} + 24 = 0$

Этап 2.1.5

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.5.1

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 3 x$ и $b = 2$ .

$- x ((3 x + 2) (3 x - 2)) + 9 x^{4} - 58 x^{2} + 24 = 0$

Этап 2.1.5.2

Избавимся от ненужных скобок.

$- x (3 x + 2) (3 x - 2) + 9 x^{4} - 58 x^{2} + 24 = 0$

Этап 2.1.6

Перепишем $x^{4}$ в виде ${(x^{2})}^{2}$ .

$- x (3 x + 2) (3 x - 2) + 9 {(x^{2})}^{2} - 58 x^{2} + 24 = 0$

Этап 2.1.7

Пусть $u = x^{2}$ . Подставим $u$ вместо $x^{2}$ для всех.

$- x (3 x + 2) (3 x - 2) + 9 u^{2} - 58 u + 24 = 0$

Этап 2.1.8

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.8.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 9 \cdot 24 = 216$ , а сумма — $b = - 58$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.8.1.1

Вынесем множитель $- 58$ из $- 58 u$ .

$- x (3 x + 2) (3 x - 2) + 9 u^{2} - 58 u + 24 = 0$

Этап 2.1.8.1.2

Запишем $- 58$ как $- 4$ плюс $- 54$

$- x (3 x + 2) (3 x - 2) + 9 u^{2} + (- 4 - 54) u + 24 = 0$

Этап 2.1.8.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- x (3 x + 2) (3 x - 2) + 9 u^{2} - 4 u - 54 u + 24 = 0$

Этап 2.1.8.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.8.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$- x (3 x + 2) (3 x - 2) + 9 u^{2} - 4 u - 54 u + 24 = 0$

Этап 2.1.8.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$- x (3 x + 2) (3 x - 2) + u (9 u - 4) - 6 (9 u - 4) = 0$

Этап 2.1.8.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $9 u - 4$ .

$- x (3 x + 2) (3 x - 2) + (9 u - 4) (u - 6) = 0$

Этап 2.1.9

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2}$ .

$- x (3 x + 2) (3 x - 2) + (9 x^{2} - 4) (x^{2} - 6) = 0$

Этап 2.1.10

Перепишем $9 x^{2}$ в виде ${(3 x)}^{2}$ .

$- x (3 x + 2) (3 x - 2) + ({(3 x)}^{2} - 4) (x^{2} - 6) = 0$

Этап 2.1.11

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$- x (3 x + 2) (3 x - 2) + ({(3 x)}^{2} - 2^{2}) (x^{2} - 6) = 0$

Этап 2.1.12

$- x (3 x + 2) (3 x - 2) + (3 x + 2) (3 x - 2) (x^{2} - 6) = 0$

Этап 2.1.13

Вынесем множитель $(3 x + 2) (3 x - 2)$ из $- x (3 x + 2) (3 x - 2) + (3 x + 2) (3 x - 2) (x^{2} - 6)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.13.1

Вынесем множитель $(3 x + 2) (3 x - 2)$ из $- x (3 x + 2) (3 x - 2)$ .

$(3 x + 2) (3 x - 2) (- x) + (3 x + 2) (3 x - 2) (x^{2} - 6) = 0$

Этап 2.1.13.2

Вынесем множитель $(3 x + 2) (3 x - 2)$ из $(3 x + 2) (3 x - 2) (- x) + (3 x + 2) (3 x - 2) (x^{2} - 6)$ .

$(3 x + 2) (3 x - 2) (- x + x^{2} - 6) = 0$

Этап 2.1.14

Пусть $u = x$ . Подставим $u$ вместо $x$ для всех.

$(3 x + 2) (3 x - 2) (- u + u^{2} - 6) = 0$

Этап 2.1.15

Разложим $- u + u^{2} - 6$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.15.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 6$ , а сумма — $- 1$ .

$- 3, 2$

Этап 2.1.15.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(3 x + 2) (3 x - 2) ((u - 3) (u + 2)) = 0$

Этап 2.1.16

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.16.1

Заменим все вхождения $u$ на $x$ .

$(3 x + 2) (3 x - 2) ((x - 3) (x + 2)) = 0$

Этап 2.1.16.2

Избавимся от ненужных скобок.

$(3 x + 2) (3 x - 2) (x - 3) (x + 2) = 0$

Этап 2.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$3 x + 2 = 0$

$3 x - 2 = 0$

$x - 3 = 0$

$x + 2 = 0$

Этап 2.3

Приравняем $3 x + 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Приравняем $3 x + 2$ к $0$ .

$3 x + 2 = 0$

Этап 2.3.2

Решим $3 x + 2 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$3 x = - 2$

Этап 2.3.2.2

Разделим каждый член $3 x = - 2$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.1

Разделим каждый член $3 x = - 2$ на $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

Этап 2.3.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

Этап 2.3.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 2}{3}$

Этап 2.3.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{2}{3}$

Этап 2.4

Приравняем $3 x - 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Приравняем $3 x - 2$ к $0$ .

$3 x - 2 = 0$

Этап 2.4.2

Решим $3 x - 2 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$3 x = 2$

Этап 2.4.2.2

Разделим каждый член $3 x = 2$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.2.1

Разделим каждый член $3 x = 2$ на $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{2}{3}$

Этап 2.4.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x}{3} = \frac{2}{3}$

Этап 2.4.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{2}{3}$

Этап 2.5

Приравняем $x - 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Приравняем $x - 3$ к $0$ .

$x - 3 = 0$

Этап 2.5.2

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$x = 3$

Этап 2.6

Приравняем $x + 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Приравняем $x + 2$ к $0$ .

$x + 2 = 0$

Этап 2.6.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$x = - 2$

Этап 2.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $(3 x + 2) (3 x - 2) (x - 3) (x + 2) = 0$ верно.

$x = - \frac{2}{3}, \frac{2}{3}, 3, - 2$

Этап 3