Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 21 x - 26$

Этап 1

Приравняем $x^{3} - 6 x^{2} + 21 x - 26$ к $0$ .

$x^{3} - 6 x^{2} + 21 x - 26 = 0$

Этап 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разложим $x^{3} - 6 x^{2} + 21 x - 26$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 26, \pm 2, \pm 13$

$q = \pm 1$

Этап 2.1.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 26, \pm 2, \pm 13$

Этап 2.1.3

Подставим $2$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $2$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Подставим $2$ в многочлен.

$2^{3} - 6 \cdot 2^{2} + 21 \cdot 2 - 26$

Этап 2.1.3.2

Возведем $2$ в степень $3$ .

$8 - 6 \cdot 2^{2} + 21 \cdot 2 - 26$

Этап 2.1.3.3

Возведем $2$ в степень $2$ .

$8 - 6 \cdot 4 + 21 \cdot 2 - 26$

Этап 2.1.3.4

Умножим $- 6$ на $4$ .

$8 - 24 + 21 \cdot 2 - 26$

Этап 2.1.3.5

Вычтем $24$ из $8$ .

$- 16 + 21 \cdot 2 - 26$

Этап 2.1.3.6

Умножим $21$ на $2$ .

$- 16 + 42 - 26$

Этап 2.1.3.7

Добавим $- 16$ и $42$ .

$26 - 26$

Этап 2.1.3.8

Вычтем $26$ из $26$ .

$0$

Этап 2.1.4

Поскольку $2$ — известный корень, разделим многочлен на $x - 2$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{x^{3} - 6 x^{2} + 21 x - 26}{x - 2}$

Этап 2.1.5

Разделим $x^{3} - 6 x^{2} + 21 x - 26$ на $x - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x$

$2$

$x^{3}$

$6 x^{2}$

$21 x$

$26$

Этап 2.1.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$21 x$	-	$26$

Этап 2.1.5.3

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$21 x$	-	$26$
			+	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$

Этап 2.1.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x^{3} - 2 x^{2}$ .

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$21 x$	-	$26$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$

Этап 2.1.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$21 x$	-	$26$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$

Этап 2.1.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$21 x$	-	$26$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$21 x$

Этап 2.1.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 4 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$21 x$	-	$26$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$21 x$

Этап 2.1.5.8

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$21 x$	-	$26$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$21 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$8 x$

Этап 2.1.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 4 x^{2} + 8 x$ .

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$21 x$	-	$26$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$21 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$8 x$

Этап 2.1.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$21 x$	-	$26$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$21 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$13 x$

Этап 2.1.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$21 x$	-	$26$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$21 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$13 x$	-	$26$

Этап 2.1.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $13 x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$13$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$21 x$	-	$26$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$21 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$13 x$	-	$26$

Этап 2.1.5.13

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$13$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$21 x$	-	$26$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$21 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$13 x$	-	$26$
							+	$13 x$	-	$26$

Этап 2.1.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $13 x - 26$ .

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$13$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$21 x$	-	$26$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$21 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$13 x$	-	$26$
							-	$13 x$	+	$26$

Этап 2.1.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$13$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$21 x$	-	$26$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$21 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$13 x$	-	$26$
							-	$13 x$	+	$26$
										$0$

Этап 2.1.5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$x^{2} - 4 x + 13$

Этап 2.1.6

Запишем $x^{3} - 6 x^{2} + 21 x - 26$ в виде набора множителей.

$(x - 2) (x^{2} - 4 x + 13) = 0$

Этап 2.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 2 = 0$

$x^{2} - 4 x + 13 = 0$

Этап 2.3

Приравняем $x - 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Приравняем $x - 2$ к $0$ .

$x - 2 = 0$

Этап 2.3.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 2$

Этап 2.4

Приравняем $x^{2} - 4 x + 13$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Приравняем $x^{2} - 4 x + 13$ к $0$ .

$x^{2} - 4 x + 13 = 0$

Этап 2.4.2

Решим $x^{2} - 4 x + 13 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 2.4.2.2

Подставим значения $a = 1$ , $b = - 4$ и $c = 13$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 13)}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.3.1.1

Возведем $- 4$ в степень $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 13}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.2.3.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 13$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.3.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 13}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.2.3.1.2.2

Умножим $- 4$ на $13$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 52}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.2.3.1.3

Вычтем $52$ из $16$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 36}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.2.3.1.4

Перепишем $- 36$ в виде $- 1 (36)$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 36}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.2.3.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (36)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{36}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{36}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.2.3.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{36}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.2.3.1.7

Перепишем $36$ в виде $6^{2}$ .

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{6^{2}}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.2.3.1.8

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \frac{4 \pm i \cdot 6}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.2.3.1.9

Перенесем $6$ влево от $i$ .

$x = \frac{4 \pm 6 i}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.2.3.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{4 \pm 6 i}{2}$

Этап 2.4.2.3.3

Упростим $\frac{4 \pm 6 i}{2}$ .

$x = 2 \pm 3 i$

Этап 2.4.2.4

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = 2 + 3 i, 2 - 3 i$

Этап 2.5

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 2) (x^{2} - 4 x + 13) = 0$ верно.

$x = 2, 2 + 3 i, 2 - 3 i$

Этап 3