Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = 7 x^{3} + 51 x^{2} + 15 x + 7$

Этап 1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 7$

$q = \pm 1, \pm 7$

Этап 2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm \frac{1}{7}, \pm 7$

Этап 3

Подставим возможные корни поочередно в многочлен, чтобы найти фактические корни. Упростим и убедимся, что это значение равно $0$ , значит, это корень.

$7 {(- 7)}^{3} + 51 {(- 7)}^{2} + 15 (- 7) + 7$

Этап 4

Упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $x = - 7$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Возведем $- 7$ в степень $3$ .

$7 \cdot - 343 + 51 {(- 7)}^{2} + 15 (- 7) + 7$

Этап 4.1.2

Умножим $7$ на $- 343$ .

$- 2401 + 51 {(- 7)}^{2} + 15 (- 7) + 7$

Этап 4.1.3

Возведем $- 7$ в степень $2$ .

$- 2401 + 51 \cdot 49 + 15 (- 7) + 7$

Этап 4.1.4

Умножим $51$ на $49$ .

$- 2401 + 2499 + 15 (- 7) + 7$

Этап 4.1.5

Умножим $15$ на $- 7$ .

$- 2401 + 2499 - 105 + 7$

Этап 4.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Добавим $- 2401$ и $2499$ .

$98 - 105 + 7$

Этап 4.2.2

Вычтем $105$ из $98$ .

$- 7 + 7$

Этап 4.2.3

Добавим $- 7$ и $7$ .

$0$

Этап 5

Поскольку $- 7$ — известный корень, разделим многочлен на $x + 7$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{7 x^{3} + 51 x^{2} + 15 x + 7}{x + 7}$

Этап 6

Затем найдем корни оставшегося многочлена. Порядок многочлена был уменьшен на $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Поместим числа, представляющие делитель и делимое, в конфигурацию для деления.

$- 7$	$7$	$51$	$15$	$7$

Этап 6.2

Первое число в делимом $(7)$ помещается в первую позицию области результата (ниже горизонтальной линии).

$- 7$	$7$	$51$	$15$	$7$

	$7$

Этап 6.3

Умножим последний элемент в области результата $(7)$ на делитель $(- 7)$ и запишем их произведение $(- 49)$ под следующим членом делимого $(51)$ .

$- 7$	$7$	$51$	$15$	$7$
		$- 49$
	$7$

Этап 6.4

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$- 7$	$7$	$51$	$15$	$7$
		$- 49$
	$7$	$2$

Этап 6.5

Умножим последний элемент в области результата $(2)$ на делитель $(- 7)$ и запишем их произведение $(- 14)$ под следующим членом делимого $(15)$ .

$- 7$	$7$	$51$	$15$	$7$
		$- 49$	$- 14$
	$7$	$2$

Этап 6.6

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$- 7$	$7$	$51$	$15$	$7$
		$- 49$	$- 14$
	$7$	$2$	$1$

Этап 6.7

Умножим последний элемент в области результата $(1)$ на делитель $(- 7)$ и запишем их произведение $(- 7)$ под следующим членом делимого $(7)$ .

$- 7$	$7$	$51$	$15$	$7$
		$- 49$	$- 14$	$- 7$
	$7$	$2$	$1$

Этап 6.8

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$- 7$	$7$	$51$	$15$	$7$
		$- 49$	$- 14$	$- 7$
	$7$	$2$	$1$	$0$

Этап 6.9

Все числа, кроме последнего, становятся коэффициентами фактор-многочлена. Последнее значение в строке результатов — это остаток.

$7 x^{2} + 2 x + 1$

Этап 7

Решим уравнение, чтобы найти оставшиеся корни.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 7.2

Подставим значения $a = 7$ , $b = 2$ и $c = 1$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (7 \cdot 1)}}{2 \cdot 7}$

Этап 7.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 7 \cdot 1}}{2 \cdot 7}$

Этап 7.3.1.2

Умножим $- 4 \cdot 7 \cdot 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1.2.1

Умножим $- 4$ на $7$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 28 \cdot 1}}{2 \cdot 7}$

Этап 7.3.1.2.2

Умножим $- 28$ на $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 28}}{2 \cdot 7}$

Этап 7.3.1.3

Вычтем $28$ из $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 24}}{2 \cdot 7}$

Этап 7.3.1.4

Перепишем $- 24$ в виде $- 1 (24)$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 24}}{2 \cdot 7}$

Этап 7.3.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (24)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{24}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{24}}{2 \cdot 7}$

Этап 7.3.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{24}}{2 \cdot 7}$

Этап 7.3.1.7

Перепишем $24$ в виде $2^{2} \cdot 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1.7.1

Вынесем множитель $4$ из $24$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (6)}}{2 \cdot 7}$

Этап 7.3.1.7.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 6}}{2 \cdot 7}$

Этап 7.3.1.8

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{6})}{2 \cdot 7}$

Этап 7.3.1.9

Перенесем $2$ влево от $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{6}}{2 \cdot 7}$

Этап 7.3.2

Умножим $2$ на $7$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{6}}{14}$

Этап 7.3.3

Упростим $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{6}}{14}$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{6}}{7}$

Этап 7.4

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 7 \cdot 1}}{2 \cdot 7}$

Этап 7.4.1.2

Умножим $- 4 \cdot 7 \cdot 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1.2.1

Умножим $- 4$ на $7$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 28 \cdot 1}}{2 \cdot 7}$

Этап 7.4.1.2.2

Умножим $- 28$ на $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 28}}{2 \cdot 7}$

Этап 7.4.1.3

Вычтем $28$ из $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 24}}{2 \cdot 7}$

Этап 7.4.1.4

Перепишем $- 24$ в виде $- 1 (24)$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 24}}{2 \cdot 7}$

Этап 7.4.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (24)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{24}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{24}}{2 \cdot 7}$

Этап 7.4.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{24}}{2 \cdot 7}$

Этап 7.4.1.7

Перепишем $24$ в виде $2^{2} \cdot 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1.7.1

Вынесем множитель $4$ из $24$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (6)}}{2 \cdot 7}$

Этап 7.4.1.7.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 6}}{2 \cdot 7}$

Этап 7.4.1.8

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{6})}{2 \cdot 7}$

Этап 7.4.1.9

Перенесем $2$ влево от $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{6}}{2 \cdot 7}$

Этап 7.4.2

Умножим $2$ на $7$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{6}}{14}$

Этап 7.4.3

Упростим $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{6}}{14}$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{6}}{7}$

Этап 7.4.4

Заменим $\pm$ на $+$ .

$x = \frac{- 1 + i \sqrt{6}}{7}$

Этап 7.4.5

Перепишем $- 1$ в виде $- 1 (1)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 + i \sqrt{6}}{7}$

Этап 7.4.6

Вынесем множитель $- 1$ из $i \sqrt{6}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (- i \sqrt{6})}{7}$

Этап 7.4.7

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (1) - (- i \sqrt{6})$ .

$x = \frac{- 1 (1 - i \sqrt{6})}{7}$

Этап 7.4.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{6}}{7}$

Этап 7.5

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.1.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 7 \cdot 1}}{2 \cdot 7}$

Этап 7.5.1.2

Умножим $- 4 \cdot 7 \cdot 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.1.2.1

Умножим $- 4$ на $7$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 28 \cdot 1}}{2 \cdot 7}$

Этап 7.5.1.2.2

Умножим $- 28$ на $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 28}}{2 \cdot 7}$

Этап 7.5.1.3

Вычтем $28$ из $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 24}}{2 \cdot 7}$

Этап 7.5.1.4

Перепишем $- 24$ в виде $- 1 (24)$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 24}}{2 \cdot 7}$

Этап 7.5.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (24)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{24}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{24}}{2 \cdot 7}$

Этап 7.5.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{24}}{2 \cdot 7}$

Этап 7.5.1.7

Перепишем $24$ в виде $2^{2} \cdot 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.1.7.1

Вынесем множитель $4$ из $24$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (6)}}{2 \cdot 7}$

Этап 7.5.1.7.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 6}}{2 \cdot 7}$

Этап 7.5.1.8

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{6})}{2 \cdot 7}$

Этап 7.5.1.9

Перенесем $2$ влево от $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{6}}{2 \cdot 7}$

Этап 7.5.2

Умножим $2$ на $7$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{6}}{14}$

Этап 7.5.3

Упростим $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{6}}{14}$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{6}}{7}$

Этап 7.5.4

Заменим $\pm$ на $-$ .

$x = \frac{- 1 - i \sqrt{6}}{7}$

Этап 7.5.5

Перепишем $- 1$ в виде $- 1 (1)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - i \sqrt{6}}{7}$

Этап 7.5.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- i \sqrt{6}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (i \sqrt{6})}{7}$

Этап 7.5.7

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (1) - (i \sqrt{6})$ .

$x = \frac{- 1 (1 + i \sqrt{6})}{7}$

Этап 7.5.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{1 + i \sqrt{6}}{7}$

Этап 7.6

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{6}}{7}, - \frac{1 + i \sqrt{6}}{7}$

Этап 8

Многочлен можно записать в виде набора линейных множителей.

$(x + 7) (x + \frac{1 - i \sqrt{6}}{7}) (x + \frac{1 + i \sqrt{6}}{7})$

Этап 9

Это корни (нули) многочлена $7 x^{3} + 51 x^{2} + 15 x + 7$ .

$x = - 7, - \frac{1 - i \sqrt{6}}{7}, - \frac{1 + i \sqrt{6}}{7}$

Этап 10