Основы мат. анализа Примеры

$\frac{1 - x^{2}}{x}$

Этап 1

Найдем, где выражение $\frac{1 - x^{2}}{x}$ не определено.

$x = 0$

Этап 2

Рассмотрим рациональную функцию $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ , где $n$ — степень числителя, а $m$ — степень знаменателя.

1. Если $n < m$ , тогда ось x, $y = 0$ , служит горизонтальной асимптотой.

2. Если $n = m$ , тогда горизонтальной асимптотой служит линия $y = \frac{a}{b}$ .

3. Если $n > m$ , тогда нет горизонтальной асимптоты (есть наклонная асимптота).

Этап 3

Найдем $n$ и $m$ .

$n = 2$

$m = 1$

Этап 4

Поскольку $n > m$ , горизонтальная асимптота отсутствует.

Нет горизонтальных асимптот

Этап 5

Найдем наклонную асимптоту, используя деление многочленов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\frac{1^{2} - x^{2}}{x}$

Этап 5.1.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 1$ и $b = x$ .

$\frac{(1 + x) (1 - x)}{x}$

Этап 5.2

Развернем $(1 + x) (1 - x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1 (1 - x) + x (1 - x)}{x}$

Этап 5.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1 \cdot 1 + 1 (- x) + x (1 - x)}{x}$

Этап 5.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1 \cdot 1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x)}{x}$

Этап 5.2.4

Избавимся от скобок.

$\frac{1 \cdot 1 + 1 \cdot (- 1 x) + x \cdot 1 + x (- x)}{x}$

Этап 5.2.5

Изменим порядок $x$ и $1$ .

$\frac{1 \cdot 1 + 1 \cdot (- 1 x) + 1 \cdot x + x (- x)}{x}$

Этап 5.2.6

Избавимся от скобок.

$\frac{1 \cdot 1 + 1 \cdot (- 1 x) + 1 \cdot x + x \cdot (- 1 x)}{x}$

Этап 5.2.7

Изменим порядок $x$ и $- 1$ .

$\frac{1 \cdot 1 + 1 \cdot (- 1 x) + 1 x - 1 \cdot (x \cdot x)}{x}$

Этап 5.2.8

Умножим $- 1$ на $x$ .

$\frac{1 \cdot 1 + 1 \cdot (- 1 x) + 1 x - 1 x \cdot x}{x}$

Этап 5.2.9

Умножим $1$ на $1$ .

$\frac{1 + 1 \cdot (- 1 x) + 1 x - 1 x \cdot x}{x}$

Этап 5.2.10

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1 - x + 1 x - 1 x \cdot x}{x}$

Этап 5.2.11

Умножим $x$ на $1$ .

$\frac{1 - x + x - 1 x \cdot x}{x}$

Этап 5.2.12

Вынесем за скобки отрицательное значение.

$\frac{1 - x + x - (x \cdot x)}{x}$

Этап 5.2.13

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{1 - x + x - (x \cdot x)}{x}$

Этап 5.2.14

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{1 - x + x - (x \cdot x)}{x}$

Этап 5.2.15

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1 - x + x - x^{1 + 1}}{x}$

Этап 5.2.16

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{1 - x + x - x^{2}}{x}$

Этап 5.2.17

Добавим $- x$ и $x$ .

$\frac{1 + 0 - x^{2}}{x}$

Этап 5.2.18

Вычтем $x^{2}$ из $0$ .

$\frac{1 - x^{2}}{x}$

Этап 5.2.19

Изменим порядок $1$ и $- x^{2}$ .

$\frac{- x^{2} + 1}{x}$

Этап 5.3

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x$

$0$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

Этап 5.4

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				-	$x$
	$x$	+	$0$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$

Этап 5.5

Умножим новое частное на делитель.

			-	$x$
$x$	+	$0$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			-	$x^{2}$	+	$0$

Этап 5.6

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- x^{2} + 0$ .

			-	$x$
$x$	+	$0$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			+	$x^{2}$	-	$0$

Этап 5.7

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

			-	$x$
$x$	+	$0$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			+	$x^{2}$	-	$0$
						$0$

Этап 5.8

Вынесем следующий член из исходного делимого в текущее делимое.

			-	$x$
$x$	+	$0$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			+	$x^{2}$	-	$0$
						$0$	+	$1$

Этап 5.9

Окончательный ответ: неполное частное плюс остаток, деленный на делитель.

$- x + \frac{1}{x}$

Этап 5.10

Наклонная асимптота ― это полиномиальная часть результата деления в столбик.

$y = - x$

Этап 6

Это множество всех асимптот.

Вертикальные асимптоты: $x = 0$

Нет горизонтальных асимптот

Наклонные асимптоты: $y = - x$

Этап 7