Основы мат. анализа Примеры

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 1

Multiply each term by a factor of $1$ that will equate all the denominators. In this case, all terms need a denominator of $2$ .

$\cos (θ) \cdot \frac{2}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 2

Умножим это выражение на множитель $1$ , чтобы получить наименьшее общее кратное знаменателей (НОЗ) для $2$ .

$\cos (θ) \cdot 2$

Этап 3

Перенесем $2$ влево от $\cos (θ)$ .

$\frac{2 \cos (θ)}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 4

Упростим $\cos (θ) \cdot \frac{2}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Разделим $2$ на $2$ .

$\cos (θ) \cdot 1 = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 4.2

Умножим $\cos (θ)$ на $1$ .

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 5

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $θ$ из косинуса.

$θ = \arccos (\frac{\sqrt{2}}{2})$

Этап 6

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Точное значение $\arccos (\frac{\sqrt{2}}{2})$ : $\frac{π}{4}$ .

$θ = \frac{π}{4}$

Этап 7

Функция косинуса положительна в первом и четвертом квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$θ = 2 π - \frac{π}{4}$

Этап 8

Упростим $2 π - \frac{π}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$θ = 2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Этап 8.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Объединим $2 π$ и $\frac{4}{4}$ .

$θ = \frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Этап 8.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$θ = \frac{2 π \cdot 4 - π}{4}$

Этап 8.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Умножим $4$ на $2$ .

$θ = \frac{8 π - π}{4}$

Этап 8.3.2

Вычтем $π$ из $8 π$ .

$θ = \frac{7 π}{4}$

Этап 9

Найдем период $\cos (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 9.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 9.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 9.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 10

Период функции $\cos (θ)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$θ = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ , для любого целого $n$