Основы мат. анализа Примеры

$y = \tan (x + \frac{π}{4})$

Этап 1

Вертикальные асимптоты функции $y = \tan (x)$ находятся в точках $x = \frac{π}{2} + n π$ , где $n$ — целое число. Используя основной период $(- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ для $y = \tan (x)$ , найдем вертикальные асимптоты для $y = \tan (x + \frac{π}{4})$ . Положив аргумент тангенса, $b x + c$ , равным $- \frac{π}{2}$ в выражении $y = a \tan (b x + c) + d$ , найдем положение вертикальной асимптоты для $y = \tan (x + \frac{π}{4})$ .

$x + \frac{π}{4} = - \frac{π}{2}$

Этап 2

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вычтем $\frac{π}{4}$ из обеих частей уравнения.

$x = - \frac{π}{2} - \frac{π}{4}$

Этап 2.2

Чтобы записать $- \frac{π}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$x = - \frac{π}{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{4}$

Этап 2.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $4$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Умножим $\frac{π}{2}$ на $\frac{2}{2}$ .

$x = - \frac{π \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{π}{4}$

Этап 2.3.2

Умножим $2$ на $2$ .

$x = - \frac{π \cdot 2}{4} - \frac{π}{4}$

Этап 2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{- π \cdot 2 - π}{4}$

Этап 2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$x = \frac{- 2 π - π}{4}$

Этап 2.5.2

Вычтем $π$ из $- 2 π$ .

$x = \frac{- 3 π}{4}$

Этап 2.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{3 π}{4}$

Этап 3

Приравняем аргумент $x + \frac{π}{4}$ функции тангенса к $\frac{π}{2}$ .

$x + \frac{π}{4} = \frac{π}{2}$

Этап 4

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вычтем $\frac{π}{4}$ из обеих частей уравнения.

$x = \frac{π}{2} - \frac{π}{4}$

Этап 4.2

Чтобы записать $\frac{π}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{4}$

Этап 4.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $4$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Умножим $\frac{π}{2}$ на $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{π}{4}$

Этап 4.3.2

Умножим $2$ на $2$ .

$x = \frac{π \cdot 2}{4} - \frac{π}{4}$

Этап 4.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{π \cdot 2 - π}{4}$

Этап 4.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Перенесем $2$ влево от $π$ .

$x = \frac{2 \cdot π - π}{4}$

Этап 4.5.2

Вычтем $π$ из $2 π$ .

$x = \frac{π}{4}$

Этап 5

Основной период $y = \tan (x + \frac{π}{4})$ находится на промежутке $(- \frac{3 π}{4}, \frac{π}{4})$ , где $- \frac{3 π}{4}$ и $\frac{π}{4}$ являются вертикальными асимптотами.

$(- \frac{3 π}{4}, \frac{π}{4})$

Этап 6

Найдем период $\frac{π}{| b |}$ , чтобы найти, где находятся вертикальные асимптоты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{π}{1}$

Этап 6.2

Разделим $π$ на $1$ .

$π$

Этап 7

Вертикальные асимптоты $y = \tan (x + \frac{π}{4})$ находятся в точках $- \frac{3 π}{4}$ , $\frac{π}{4}$ и в каждой точке $x = - \frac{3 π}{4} + π n$ , где $n$ ― целое число.

$x = - \frac{3 π}{4} + π n$

Этап 8

У тангенса есть только вертикальные асимптоты.

Нет горизонтальных асимптот

Нет наклонных асимптот

Вертикальные асимптоты: $x = - \frac{3 π}{4} + π n$ , где $n$ — целое число

Этап 9