Основы мат. анализа Примеры

$x^{3} - 100 x \leq 0$

Этап 1

Преобразуем неравенство в уравнение.

$x^{3} - 100 x = 0$

Этап 2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{3} - 100 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{3}$ .

$x \cdot x^{2} - 100 x = 0$

Этап 2.1.2

Вынесем множитель $x$ из $- 100 x$ .

$x \cdot x^{2} + x \cdot - 100 = 0$

Этап 2.1.3

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot x^{2} + x \cdot - 100$ .

$x (x^{2} - 100) = 0$

Этап 2.2

Перепишем $100$ в виде $10^{2}$ .

$x (x^{2} - 10^{2}) = 0$

Этап 2.3

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 10$ .

$x ((x + 10) (x - 10)) = 0$

Этап 2.3.2

Избавимся от ненужных скобок.

$x (x + 10) (x - 10) = 0$

Этап 3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$x + 10 = 0$

$x - 10 = 0$

Этап 4

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 5

Приравняем $x + 10$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Приравняем $x + 10$ к $0$ .

$x + 10 = 0$

Этап 5.2

Вычтем $10$ из обеих частей уравнения.

$x = - 10$

Этап 6

Приравняем $x - 10$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Приравняем $x - 10$ к $0$ .

$x - 10 = 0$

Этап 6.2

Добавим $10$ к обеим частям уравнения.

$x = 10$

Этап 7

Окончательным решением являются все значения, при которых $x (x + 10) (x - 10) = 0$ верно.

$x = 0, - 10, 10$

Этап 8

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - 10$

$- 10 < x < 0$

$0 < x < 10$

$x > 10$

Этап 9

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Проверим значение на интервале $x < - 10$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Выберем значение на интервале $x < - 10$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 12$

Этап 9.1.2

Заменим $x$ на $- 12$ в исходном неравенстве.

${(- 12)}^{3} - 100 \cdot - 12 \leq 0$

Этап 9.1.3

Левая часть $- 528$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 9.2

Проверим значение на интервале $- 10 < x < 0$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Выберем значение на интервале $- 10 < x < 0$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 5$

Этап 9.2.2

Заменим $x$ на $- 5$ в исходном неравенстве.

${(- 5)}^{3} - 100 \cdot - 5 \leq 0$

Этап 9.2.3

Левая часть $375$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 9.3

Проверим значение на интервале $0 < x < 10$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Выберем значение на интервале $0 < x < 10$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 5$

Этап 9.3.2

Заменим $x$ на $5$ в исходном неравенстве.

${(5)}^{3} - 100 \cdot 5 \leq 0$

Этап 9.3.3

Левая часть $- 375$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 9.4

Проверим значение на интервале $x > 10$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.1

Выберем значение на интервале $x > 10$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 12$

Этап 9.4.2

Заменим $x$ на $12$ в исходном неравенстве.

${(12)}^{3} - 100 \cdot 12 \leq 0$

Этап 9.4.3

Левая часть $528$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 9.5

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - 10$ Истина

$- 10 < x < 0$ Ложь

$0 < x < 10$ Истина

$x > 10$ Ложь

$x < - 10$ Истина

$- 10 < x < 0$ Ложь

$0 < x < 10$ Истина

$x > 10$ Ложь

Этап 10

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x \leq - 10$ или $0 \leq x \leq 10$

Этап 11

Преобразуем неравенство в интервальное представление.

$(- \infty, - 10] \cup [0, 10]$

Этап 12