Основы мат. анализа Примеры

$\sin (θ) + \cos (θ) \cot (θ) = \csc (θ)$

Этап 1

Начнем с левой части.

$\sin (θ) + \cos (θ) \cot (θ)$

Этап 2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Выразим $\cot (θ)$ через синусы и косинусы.

$\sin (θ) + \cos (θ) \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$

Этап 2.2

Умножим $\cos (θ) \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Объединим $\cos (θ)$ и $\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$ .

$\sin (θ) + \frac{\cos (θ) \cos (θ)}{\sin (θ)}$

Этап 2.2.2

Возведем $\cos (θ)$ в степень $1$ .

$\sin (θ) + \frac{\cos^{1} (θ) \cos (θ)}{\sin (θ)}$

Этап 2.2.3

Возведем $\cos (θ)$ в степень $1$ .

$\sin (θ) + \frac{\cos^{1} (θ) \cos^{1} (θ)}{\sin (θ)}$

Этап 2.2.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\sin (θ) + \frac{{\cos (θ)}^{1 + 1}}{\sin (θ)}$

Этап 2.2.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\sin (θ) + \frac{\cos^{2} (θ)}{\sin (θ)}$

Этап 3

Применим формулу Пифагора в обратном направлении.

$\sin (θ) + \frac{1 - \sin^{2} (θ)}{\sin (θ)}$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\sin (θ) + \frac{1^{2} - {\sin (θ)}^{2}}{\sin (θ)}$

Этап 4.1.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 1$ и $b = \sin (θ)$ .

$\sin (θ) + \frac{(1 + \sin (θ)) (1 - \sin (θ))}{\sin (θ)}$

Этап 4.2

Чтобы записать $\sin (θ)$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{\sin (θ)}{\sin (θ)}$ .

$\frac{\sin (θ) \sin (θ)}{\sin (θ)} + \frac{(1 + \sin (θ)) (1 - \sin (θ))}{\sin (θ)}$

Этап 4.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\sin (θ) \sin (θ) + (1 + \sin (θ)) (1 - \sin (θ))}{\sin (θ)}$

Этап 4.4

Упростим числитель.

$\frac{1}{\sin (θ)}$

Этап 5

Перепишем $\frac{1}{\sin (θ)}$ в виде $\csc (θ)$ .

$\csc (θ)$

Этап 6

Поскольку была показана эквивалентность обеих сторон, уравнение является тождеством.

$\sin (θ) + \cos (θ) \cot (θ) = \csc (θ)$ — тождество