Основы мат. анализа Примеры

$4 x^{4} - 25 x^{2} + 36 \leq 0$

Этап 1

Подставим $u = x^{2}$ в уравнение. Это упростит использование формулы для корней квадратного уравнения.

$4 u^{2} - 25 u + 36 = 0$

$u = x^{2}$

Этап 2

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 4 \cdot 36 = 144$ , а сумма — $b = - 25$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Вынесем множитель $- 25$ из $- 25 u$ .

$4 u^{2} - 25 u + 36 = 0$

Этап 2.1.2

Запишем $- 25$ как $- 9$ плюс $- 16$

$4 u^{2} + (- 9 - 16) u + 36 = 0$

Этап 2.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$4 u^{2} - 9 u - 16 u + 36 = 0$

Этап 2.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(4 u^{2} - 9 u) - 16 u + 36 = 0$

Этап 2.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$u (4 u - 9) - 4 (4 u - 9) = 0$

Этап 2.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $4 u - 9$ .

$(4 u - 9) (u - 4) = 0$

Этап 3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$4 u - 9 = 0$

$u - 4 = 0$

Этап 4

Приравняем $4 u - 9$ к $0$ , затем решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Приравняем $4 u - 9$ к $0$ .

$4 u - 9 = 0$

Этап 4.2

Решим $4 u - 9 = 0$ относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Добавим $9$ к обеим частям уравнения.

$4 u = 9$

Этап 4.2.2

Разделим каждый член $4 u = 9$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Разделим каждый член $4 u = 9$ на $4$ .

$\frac{4 u}{4} = \frac{9}{4}$

Этап 4.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 u}{4} = \frac{9}{4}$

Этап 4.2.2.2.1.2

Разделим $u$ на $1$ .

$u = \frac{9}{4}$

Этап 5

Приравняем $u - 4$ к $0$ , затем решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Приравняем $u - 4$ к $0$ .

$u - 4 = 0$

Этап 5.2

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$u = 4$

Этап 6

Окончательным решением являются все значения, при которых $(4 u - 9) (u - 4) = 0$ верно.

$u = \frac{9}{4}, 4$

Этап 7

Подставим вещественное значение $u = x^{2}$ обратно в решенное уравнение.

$x^{2} = \frac{9}{4}$

${(x^{2})}^{1} = 4$

Этап 8

Решим первое уравнение относительно $x$ .

$x^{2} = \frac{9}{4}$

Этап 9

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{9}{4}}$

Этап 9.2

Упростим $\pm \sqrt{\frac{9}{4}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Перепишем $\sqrt{\frac{9}{4}}$ в виде $\frac{\sqrt{9}}{\sqrt{4}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{4}}$

Этап 9.2.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.1

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3^{2}}}{\sqrt{4}}$

Этап 9.2.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm \frac{3}{\sqrt{4}}$

Этап 9.2.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.3.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \pm \frac{3}{\sqrt{2^{2}}}$

Этап 9.2.3.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm \frac{3}{2}$

Этап 9.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = \frac{3}{2}$

Этап 9.3.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - \frac{3}{2}$

Этап 9.3.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \frac{3}{2}, - \frac{3}{2}$

Этап 10

Решим второе уравнение относительно $x$ .

${(x^{2})}^{1} = 4$

Этап 11

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Избавимся от скобок.

$x^{2} = 4$

Этап 11.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{4}$

Этап 11.3

Упростим $\pm \sqrt{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Этап 11.3.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 2$

Этап 11.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 2$

Этап 11.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 2$

Этап 11.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 2, - 2$

Этап 12

Решением $4 x^{4} - 25 x^{2} + 36 = 0$ является $x = \frac{3}{2}, - \frac{3}{2}, 2, - 2$ .

$x = \frac{3}{2}, - \frac{3}{2}, 2, - 2$

Этап 13

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - 2$

$- 2 < x < - \frac{3}{2}$

$- \frac{3}{2} < x < \frac{3}{2}$

$\frac{3}{2} < x < 2$

$x > 2$

Этап 14

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Проверим значение на интервале $x < - 2$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1.1

Выберем значение на интервале $x < - 2$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 4$

Этап 14.1.2

Заменим $x$ на $- 4$ в исходном неравенстве.

$4 {(- 4)}^{4} - 25 {(- 4)}^{2} + 36 \leq 0$

Этап 14.1.3

Левая часть $660$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 14.2

Проверим значение на интервале $- 2 < x < - \frac{3}{2}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.1

Выберем значение на интервале $- 2 < x < - \frac{3}{2}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 1.75$

Этап 14.2.2

Заменим $x$ на $- 1.75$ в исходном неравенстве.

$4 {(- 1.75)}^{4} - 25 {(- 1.75)}^{2} + 36 \leq 0$

Этап 14.2.3

Левая часть $- 3.046875$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 14.3

Проверим значение на интервале $- \frac{3}{2} < x < \frac{3}{2}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.3.1

Выберем значение на интервале $- \frac{3}{2} < x < \frac{3}{2}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 14.3.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$4 {(0)}^{4} - 25 {(0)}^{2} + 36 \leq 0$

Этап 14.3.3

Левая часть $36$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 14.4

Проверим значение на интервале $\frac{3}{2} < x < 2$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.4.1

Выберем значение на интервале $\frac{3}{2} < x < 2$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 1.75$

Этап 14.4.2

Заменим $x$ на $1.75$ в исходном неравенстве.

$4 {(1.75)}^{4} - 25 {(1.75)}^{2} + 36 \leq 0$

Этап 14.4.3

Левая часть $- 3.046875$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 14.5

Проверим значение на интервале $x > 2$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.5.1

Выберем значение на интервале $x > 2$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 4$

Этап 14.5.2

Заменим $x$ на $4$ в исходном неравенстве.

$4 {(4)}^{4} - 25 {(4)}^{2} + 36 \leq 0$

Этап 14.5.3

Левая часть $660$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 14.6

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - 2$ Ложь

$- 2 < x < - \frac{3}{2}$ Истина

$- \frac{3}{2} < x < \frac{3}{2}$ Ложь

$\frac{3}{2} < x < 2$ Истина

$x > 2$ Ложь

$x < - 2$ Ложь

$- 2 < x < - \frac{3}{2}$ Истина

$- \frac{3}{2} < x < \frac{3}{2}$ Ложь

$\frac{3}{2} < x < 2$ Истина

$x > 2$ Ложь

Этап 15

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$- 2 \leq x \leq - \frac{3}{2}$ или $\frac{3}{2} \leq x \leq 2$

Этап 16

Преобразуем неравенство в интервальное представление.

$[- 2, - \frac{3}{2}] \cup [\frac{3}{2}, 2]$

Этап 17