Основы мат. анализа Примеры

$x^{3} - 15 x^{2} + 75 x - 125$

Этап 1

Разложим $x^{3} - 15 x^{2} + 75 x - 125$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 125, \pm 5, \pm 25$

$q = \pm 1$

Этап 1.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 125, \pm 5, \pm 25$

Этап 1.3

Подставим $5$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $5$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Подставим $5$ в многочлен.

$5^{3} - 15 \cdot 5^{2} + 75 \cdot 5 - 125$

Этап 1.3.2

Возведем $5$ в степень $3$ .

$125 - 15 \cdot 5^{2} + 75 \cdot 5 - 125$

Этап 1.3.3

Возведем $5$ в степень $2$ .

$125 - 15 \cdot 25 + 75 \cdot 5 - 125$

Этап 1.3.4

Умножим $- 15$ на $25$ .

$125 - 375 + 75 \cdot 5 - 125$

Этап 1.3.5

Вычтем $375$ из $125$ .

$- 250 + 75 \cdot 5 - 125$

Этап 1.3.6

Умножим $75$ на $5$ .

$- 250 + 375 - 125$

Этап 1.3.7

Добавим $- 250$ и $375$ .

$125 - 125$

Этап 1.3.8

Вычтем $125$ из $125$ .

$0$

Этап 1.4

Поскольку $5$ — известный корень, разделим многочлен на $x - 5$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{x^{3} - 15 x^{2} + 75 x - 125}{x - 5}$

Этап 1.5

Разделим $x^{3} - 15 x^{2} + 75 x - 125$ на $x - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x$

$5$

$x^{3}$

$15 x^{2}$

$75 x$

$125$

Этап 1.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$75 x$	-	$125$

Этап 1.5.3

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$75 x$	-	$125$
			+	$x^{3}$	-	$5 x^{2}$

Этап 1.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x^{3} - 5 x^{2}$ .

				$x^{2}$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$75 x$	-	$125$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$

Этап 1.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$75 x$	-	$125$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					-	$10 x^{2}$

Этап 1.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$75 x$	-	$125$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	+	$75 x$

Этап 1.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 10 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$x^{2}$	-	$10 x$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$75 x$	-	$125$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	+	$75 x$

Этап 1.5.8

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$	-	$10 x$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$75 x$	-	$125$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	+	$75 x$
					-	$10 x^{2}$	+	$50 x$

Этап 1.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 10 x^{2} + 50 x$ .

				$x^{2}$	-	$10 x$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$75 x$	-	$125$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	+	$75 x$
					+	$10 x^{2}$	-	$50 x$

Этап 1.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$	-	$10 x$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$75 x$	-	$125$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	+	$75 x$
					+	$10 x^{2}$	-	$50 x$
							+	$25 x$

Этап 1.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$	-	$10 x$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$75 x$	-	$125$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	+	$75 x$
					+	$10 x^{2}$	-	$50 x$
							+	$25 x$	-	$125$

Этап 1.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $25 x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$x^{2}$	-	$10 x$	+	$25$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$75 x$	-	$125$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	+	$75 x$
					+	$10 x^{2}$	-	$50 x$
							+	$25 x$	-	$125$

Этап 1.5.13

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$	-	$10 x$	+	$25$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$75 x$	-	$125$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	+	$75 x$
					+	$10 x^{2}$	-	$50 x$
							+	$25 x$	-	$125$
							+	$25 x$	-	$125$

Этап 1.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $25 x - 125$ .

				$x^{2}$	-	$10 x$	+	$25$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$75 x$	-	$125$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	+	$75 x$
					+	$10 x^{2}$	-	$50 x$
							+	$25 x$	-	$125$
							-	$25 x$	+	$125$

Этап 1.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$	-	$10 x$	+	$25$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$75 x$	-	$125$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	+	$75 x$
					+	$10 x^{2}$	-	$50 x$
							+	$25 x$	-	$125$
							-	$25 x$	+	$125$
										$0$

Этап 1.5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$x^{2} - 10 x + 25$

Этап 1.6

Запишем $x^{3} - 15 x^{2} + 75 x - 125$ в виде набора множителей.

$(x - 5) (x^{2} - 10 x + 25)$

Этап 2

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$(x - 5) (x^{2} - 10 x + 5^{2})$

Этап 2.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$10 x = 2 \cdot x \cdot 5$

Этап 2.3

Перепишем многочлен.

$(x - 5) (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 5 + 5^{2})$

Этап 2.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , где $a = x$ и $b = 5$ .

$(x - 5) {(x - 5)}^{2}$

Этап 3

Объединим подобные множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Возведем $x - 5$ в степень $1$ .

${(x - 5)}^{1} {(x - 5)}^{2}$

Этап 3.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

${(x - 5)}^{1 + 2}$

Этап 3.3

Добавим $1$ и $2$ .

${(x - 5)}^{3}$