Основы мат. анализа Примеры

$x = \sqrt{y} + \sqrt[4]{y}$

Этап 1

Запишем правую часть в виде рациональных экспонент.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{y}$ в виде $y^{\frac{1}{2}}$ .

$x = y^{\frac{1}{2}} + \sqrt[4]{y}$

Этап 1.2

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[4]{y}$ в виде $y^{\frac{1}{4}}$ .

$x = y^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{4}}$

Этап 2

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (x) = \frac{d}{d x} (y^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{4}})$

Этап 3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1$

Этап 4

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

По правилу суммы производная $y^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{4}}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{4}}]$ .

$\frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{4}}]$

Этап 4.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ и $g (x) = y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $y$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{4}}]$

Этап 4.2.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{4}}]$

Этап 4.2.1.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $y$ .

$\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{4}}]$

Этап 4.2.2

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1} y' + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{4}}]$

Этап 4.2.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} y' + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{4}}]$

Этап 4.2.4

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} y' + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{4}}]$

Этап 4.2.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{2} y^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} y' + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{4}}]$

Этап 4.2.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.6.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{1}{2} y^{\frac{1 - 2}{2}} y' + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{4}}]$

Этап 4.2.6.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$\frac{1}{2} y^{\frac{- 1}{2}} y' + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{4}}]$

Этап 4.2.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{2} y^{- \frac{1}{2}} y' + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{4}}]$

Этап 4.2.8

Объединим $\frac{1}{2}$ и $y^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{y^{- \frac{1}{2}}}{2} y' + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{4}}]$

Этап 4.2.9

Объединим $\frac{y^{- \frac{1}{2}}}{2}$ и $y'$ .

$\frac{y^{- \frac{1}{2}} y'}{2} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{4}}]$

Этап 4.2.10

Перенесем $y^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{4}}]$

Этап 4.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{4}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $y$ .

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{4}}] \frac{d}{d x} [y]$

Этап 4.3.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{2}}^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{4}$ .

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{4} {u_{2}}^{\frac{1}{4} - 1} \frac{d}{d x} [y]$

Этап 4.3.1.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $y$ .

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{4} y^{\frac{1}{4} - 1} \frac{d}{d x} [y]$

Этап 4.3.2

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{4} y^{\frac{1}{4} - 1} y'$

Этап 4.3.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{4} y^{\frac{1}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}} y'$

Этап 4.3.4

Объединим $- 1$ и $\frac{4}{4}$ .

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{4} y^{\frac{1}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}} y'$

Этап 4.3.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{4} y^{\frac{1 - 1 \cdot 4}{4}} y'$

Этап 4.3.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.6.1

Умножим $- 1$ на $4$ .

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{4} y^{\frac{1 - 4}{4}} y'$

Этап 4.3.6.2

Вычтем $4$ из $1$ .

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{4} y^{\frac{- 3}{4}} y'$

Этап 4.3.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{4} y^{- \frac{3}{4}} y'$

Этап 4.3.8

Объединим $\frac{1}{4}$ и $y^{- \frac{3}{4}}$ .

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{y^{- \frac{3}{4}}}{4} y'$

Этап 4.3.9

Объединим $\frac{y^{- \frac{3}{4}}}{4}$ и $y'$ .

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{y^{- \frac{3}{4}} y'}{4}$

Этап 4.3.10

Перенесем $y^{- \frac{3}{4}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{y'}{4 y^{\frac{3}{4}}}$

Этап 5

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$1 = \frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{y'}{4 y^{\frac{3}{4}}}$

Этап 6

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{y'}{4 y^{\frac{3}{4}}} = 1$ .

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{y'}{4 y^{\frac{3}{4}}} = 1$

Этап 6.2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$2 y^{\frac{1}{2}}, 4 y^{\frac{3}{4}}, 1$

Этап 6.2.2

Since $2 y^{\frac{1}{2}}, 4 y^{\frac{3}{4}}, 1$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $2, 4, 1$ then find LCM for the variable part $y^{\frac{1}{2}}, y^{\frac{3}{4}}$ .

Этап 6.2.3

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 6.2.4

Поскольку $2$ не имеет множителей, кроме $1$ и $2$ .

$2$ — простое число

Этап 6.2.5

У $4$ есть множители: $2$ и $2$ .

$2 \cdot 2$

Этап 6.2.6

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 6.2.7

НОК $2, 4, 1$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$2 \cdot 2$

Этап 6.2.8

Умножим $2$ на $2$ .

$4$

Этап 6.2.9

НОК $y^{\frac{1}{2}}, y^{\frac{3}{4}}$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$y^{\frac{3}{4}}$

Этап 6.2.10

НОК $2 y^{\frac{1}{2}}, 4 y^{\frac{3}{4}}, 1$ представляет собой произведение числовой части $4$ и переменной части.

$4 y^{\frac{3}{4}}$

Этап 6.3

Каждый член в $\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{y'}{4 y^{\frac{3}{4}}} = 1$ умножим на $4 y^{\frac{3}{4}}$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Умножим каждый член $\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{y'}{4 y^{\frac{3}{4}}} = 1$ на $4 y^{\frac{3}{4}}$ .

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} (4 y^{\frac{3}{4}}) + \frac{y'}{4 y^{\frac{3}{4}}} (4 y^{\frac{3}{4}}) = 1 (4 y^{\frac{3}{4}})$

Этап 6.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$4 \frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{3}{4}} + \frac{y'}{4 y^{\frac{3}{4}}} (4 y^{\frac{3}{4}}) = 1 (4 y^{\frac{3}{4}})$

Этап 6.3.2.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$2 \cdot 2 \frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{3}{4}} + \frac{y'}{4 y^{\frac{3}{4}}} (4 y^{\frac{3}{4}}) = 1 (4 y^{\frac{3}{4}})$

Этап 6.3.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$2 \cdot 2 \frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{3}{4}} + \frac{y'}{4 y^{\frac{3}{4}}} (4 y^{\frac{3}{4}}) = 1 (4 y^{\frac{3}{4}})$

Этап 6.3.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$2 \frac{y'}{y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{3}{4}} + \frac{y'}{4 y^{\frac{3}{4}}} (4 y^{\frac{3}{4}}) = 1 (4 y^{\frac{3}{4}})$

Этап 6.3.2.1.3

Объединим $2$ и $\frac{y'}{y^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2 y'}{y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{3}{4}} + \frac{y'}{4 y^{\frac{3}{4}}} (4 y^{\frac{3}{4}}) = 1 (4 y^{\frac{3}{4}})$

Этап 6.3.2.1.4

Сократим общий множитель $y^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1.4.1

Вынесем множитель $y^{\frac{1}{2}}$ из $y^{\frac{3}{4}}$ .

$\frac{2 y'}{y^{\frac{1}{2}}} (y^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{4}}) + \frac{y'}{4 y^{\frac{3}{4}}} (4 y^{\frac{3}{4}}) = 1 (4 y^{\frac{3}{4}})$

Этап 6.3.2.1.4.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 y'}{y^{\frac{1}{2}}} (y^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{4}}) + \frac{y'}{4 y^{\frac{3}{4}}} (4 y^{\frac{3}{4}}) = 1 (4 y^{\frac{3}{4}})$

Этап 6.3.2.1.4.3

Перепишем это выражение.

$2 y' y^{\frac{1}{4}} + \frac{y'}{4 y^{\frac{3}{4}}} (4 y^{\frac{3}{4}}) = 1 (4 y^{\frac{3}{4}})$

Этап 6.3.2.1.5

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$2 y' y^{\frac{1}{4}} + 4 \frac{y'}{4 y^{\frac{3}{4}}} y^{\frac{3}{4}} = 1 (4 y^{\frac{3}{4}})$

Этап 6.3.2.1.6

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1.6.1

Сократим общий множитель.

$2 y' y^{\frac{1}{4}} + 4 \frac{y'}{4 y^{\frac{3}{4}}} y^{\frac{3}{4}} = 1 (4 y^{\frac{3}{4}})$

Этап 6.3.2.1.6.2

Перепишем это выражение.

$2 y' y^{\frac{1}{4}} + \frac{y'}{y^{\frac{3}{4}}} y^{\frac{3}{4}} = 1 (4 y^{\frac{3}{4}})$

Этап 6.3.2.1.7

Сократим общий множитель $y^{\frac{3}{4}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1.7.1

Сократим общий множитель.

$2 y' y^{\frac{1}{4}} + \frac{y'}{y^{\frac{3}{4}}} y^{\frac{3}{4}} = 1 (4 y^{\frac{3}{4}})$

Этап 6.3.2.1.7.2

Перепишем это выражение.

$2 y' y^{\frac{1}{4}} + y' = 1 (4 y^{\frac{3}{4}})$

Этап 6.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.1

Умножим $4 y^{\frac{3}{4}}$ на $1$ .

$2 y' y^{\frac{1}{4}} + y' = 4 y^{\frac{3}{4}}$

Этап 6.4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Вынесем множитель $y'$ из $2 y' y^{\frac{1}{4}} + y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1.1

Вынесем множитель $y'$ из $2 y' y^{\frac{1}{4}}$ .

$y' (2 y^{\frac{1}{4}}) + y' = 4 y^{\frac{3}{4}}$

Этап 6.4.1.2

Возведем $y'$ в степень $1$ .

$y' (2 y^{\frac{1}{4}}) + y' = 4 y^{\frac{3}{4}}$

Этап 6.4.1.3

Вынесем множитель $y'$ из ${y'}^{1}$ .

$y' (2 y^{\frac{1}{4}}) + y' \cdot 1 = 4 y^{\frac{3}{4}}$

Этап 6.4.1.4

Вынесем множитель $y'$ из $y' (2 y^{\frac{1}{4}}) + y' \cdot 1$ .

$y' (2 y^{\frac{1}{4}} + 1) = 4 y^{\frac{3}{4}}$

Этап 6.4.2

Разделим каждый член $y' (2 y^{\frac{1}{4}} + 1) = 4 y^{\frac{3}{4}}$ на $2 y^{\frac{1}{4}} + 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1

Разделим каждый член $y' (2 y^{\frac{1}{4}} + 1) = 4 y^{\frac{3}{4}}$ на $2 y^{\frac{1}{4}} + 1$ .

$\frac{y' (2 y^{\frac{1}{4}} + 1)}{2 y^{\frac{1}{4}} + 1} = \frac{4 y^{\frac{3}{4}}}{2 y^{\frac{1}{4}} + 1}$

Этап 6.4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' (2 y^{\frac{1}{4}} + 1)}{2 y^{\frac{1}{4}} + 1} = \frac{4 y^{\frac{3}{4}}}{2 y^{\frac{1}{4}} + 1}$

Этап 6.4.2.2.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{4 y^{\frac{3}{4}}}{2 y^{\frac{1}{4}} + 1}$

Этап 7

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 y^{\frac{3}{4}}}{2 y^{\frac{1}{4}} + 1}$