Основы мат. анализа Примеры

$y = \tan (x + \frac{π}{3})$

Этап 1

Вертикальные асимптоты функции $y = \tan (x)$ находятся в точках $x = \frac{π}{2} + n π$ , где $n$ — целое число. Используя основной период $(- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ для $y = \tan (x)$ , найдем вертикальные асимптоты для $y = \tan (x + \frac{π}{3})$ . Положив аргумент тангенса, $b x + c$ , равным $- \frac{π}{2}$ в выражении $y = a \tan (b x + c) + d$ , найдем положение вертикальной асимптоты для $y = \tan (x + \frac{π}{3})$ .

$x + \frac{π}{3} = - \frac{π}{2}$

Этап 2

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вычтем $\frac{π}{3}$ из обеих частей уравнения.

$x = - \frac{π}{2} - \frac{π}{3}$

Этап 2.2

Чтобы записать $- \frac{π}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$x = - \frac{π}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Этап 2.3

Чтобы записать $- \frac{π}{3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$x = - \frac{π}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3} \cdot \frac{2}{2}$

Этап 2.4

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $6$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Умножим $\frac{π}{2}$ на $\frac{3}{3}$ .

$x = - \frac{π \cdot 3}{2 \cdot 3} - \frac{π}{3} \cdot \frac{2}{2}$

Этап 2.4.2

Умножим $2$ на $3$ .

$x = - \frac{π \cdot 3}{6} - \frac{π}{3} \cdot \frac{2}{2}$

Этап 2.4.3

Умножим $\frac{π}{3}$ на $\frac{2}{2}$ .

$x = - \frac{π \cdot 3}{6} - \frac{π \cdot 2}{3 \cdot 2}$

Этап 2.4.4

Умножим $3$ на $2$ .

$x = - \frac{π \cdot 3}{6} - \frac{π \cdot 2}{6}$

Этап 2.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{- π \cdot 3 - π \cdot 2}{6}$

Этап 2.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Умножим $3$ на $- 1$ .

$x = \frac{- 3 π - π \cdot 2}{6}$

Этап 2.6.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$x = \frac{- 3 π - 2 π}{6}$

Этап 2.6.3

Вычтем $2 π$ из $- 3 π$ .

$x = \frac{- 5 π}{6}$

Этап 2.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{5 π}{6}$

Этап 3

Приравняем аргумент $x + \frac{π}{3}$ функции тангенса к $\frac{π}{2}$ .

$x + \frac{π}{3} = \frac{π}{2}$

Этап 4

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вычтем $\frac{π}{3}$ из обеих частей уравнения.

$x = \frac{π}{2} - \frac{π}{3}$

Этап 4.2

Чтобы записать $\frac{π}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Этап 4.3

Чтобы записать $- \frac{π}{3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3} \cdot \frac{2}{2}$

Этап 4.4

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $6$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Умножим $\frac{π}{2}$ на $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{π \cdot 3}{2 \cdot 3} - \frac{π}{3} \cdot \frac{2}{2}$

Этап 4.4.2

Умножим $2$ на $3$ .

$x = \frac{π \cdot 3}{6} - \frac{π}{3} \cdot \frac{2}{2}$

Этап 4.4.3

Умножим $\frac{π}{3}$ на $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π \cdot 3}{6} - \frac{π \cdot 2}{3 \cdot 2}$

Этап 4.4.4

Умножим $3$ на $2$ .

$x = \frac{π \cdot 3}{6} - \frac{π \cdot 2}{6}$

Этап 4.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{π \cdot 3 - π \cdot 2}{6}$

Этап 4.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Перенесем $3$ влево от $π$ .

$x = \frac{3 \cdot π - π \cdot 2}{6}$

Этап 4.6.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$x = \frac{3 π - 2 π}{6}$

Этап 4.6.3

Вычтем $2 π$ из $3 π$ .

$x = \frac{π}{6}$

Этап 5

Основной период $y = \tan (x + \frac{π}{3})$ находится на промежутке $(- \frac{5 π}{6}, \frac{π}{6})$ , где $- \frac{5 π}{6}$ и $\frac{π}{6}$ являются вертикальными асимптотами.

$(- \frac{5 π}{6}, \frac{π}{6})$

Этап 6

Найдем период $\frac{π}{| b |}$ , чтобы найти, где находятся вертикальные асимптоты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{π}{1}$

Этап 6.2

Разделим $π$ на $1$ .

$π$

Этап 7

Вертикальные асимптоты $y = \tan (x + \frac{π}{3})$ находятся в точках $- \frac{5 π}{6}$ , $\frac{π}{6}$ и в каждой точке $x = - \frac{5 π}{6} + π n$ , где $n$ ― целое число.

$x = - \frac{5 π}{6} + π n$

Этап 8

У тангенса есть только вертикальные асимптоты.

Нет горизонтальных асимптот

Нет наклонных асимптот

Вертикальные асимптоты: $x = - \frac{5 π}{6} + π n$ , где $n$ — целое число

Этап 9