Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = - 4 \tan (3 π x)$

Этап 1

Вертикальные асимптоты функции $y = \tan (x)$ находятся в точках $x = \frac{π}{2} + n π$ , где $n$ — целое число. Используя основной период $(- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ для $y = \tan (x)$ , найдем вертикальные асимптоты для $y = - 4 \tan (3 π x)$ . Положив аргумент тангенса, $b x + c$ , равным $- \frac{π}{2}$ в выражении $y = a \tan (b x + c) + d$ , найдем положение вертикальной асимптоты для $y = - 4 \tan (3 π x)$ .

$3 π x = - \frac{π}{2}$

Этап 2

Разделим каждый член $3 π x = - \frac{π}{2}$ на $3 π$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разделим каждый член $3 π x = - \frac{π}{2}$ на $3 π$ .

$\frac{3 π x}{3 π} = \frac{- \frac{π}{2}}{3 π}$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 π x}{3 π} = \frac{- \frac{π}{2}}{3 π}$

Этап 2.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{π x}{π} = \frac{- \frac{π}{2}}{3 π}$

Этап 2.2.2

Сократим общий множитель $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{π x}{π} = \frac{- \frac{π}{2}}{3 π}$

Этап 2.2.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- \frac{π}{2}}{3 π}$

Этап 2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$x = - \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{3 π}$

Этап 2.3.2

Сократим общий множитель $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{π}{2}$ в числитель.

$x = \frac{- π}{2} \cdot \frac{1}{3 π}$

Этап 2.3.2.2

Вынесем множитель $π$ из $- π$ .

$x = \frac{π \cdot - 1}{2} \cdot \frac{1}{3 π}$

Этап 2.3.2.3

Вынесем множитель $π$ из $3 π$ .

$x = \frac{π \cdot - 1}{2} \cdot \frac{1}{π \cdot 3}$

Этап 2.3.2.4

Сократим общий множитель.

$x = \frac{π \cdot - 1}{2} \cdot \frac{1}{π \cdot 3}$

Этап 2.3.2.5

Перепишем это выражение.

$x = \frac{- 1}{2} \cdot \frac{1}{3}$

Этап 2.3.3

Умножим $\frac{- 1}{2}$ на $\frac{1}{3}$ .

$x = \frac{- 1}{2 \cdot 3}$

Этап 2.3.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.1

Умножим $2$ на $3$ .

$x = \frac{- 1}{6}$

Этап 2.3.4.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{1}{6}$

Этап 3

Приравняем аргумент $3 π x$ функции тангенса к $\frac{π}{2}$ .

$3 π x = \frac{π}{2}$

Этап 4

Разделим каждый член $3 π x = \frac{π}{2}$ на $3 π$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Разделим каждый член $3 π x = \frac{π}{2}$ на $3 π$ .

$\frac{3 π x}{3 π} = \frac{\frac{π}{2}}{3 π}$

Этап 4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 π x}{3 π} = \frac{\frac{π}{2}}{3 π}$

Этап 4.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{π x}{π} = \frac{\frac{π}{2}}{3 π}$

Этап 4.2.2

Сократим общий множитель $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{π x}{π} = \frac{\frac{π}{2}}{3 π}$

Этап 4.2.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{2}}{3 π}$

Этап 4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{3 π}$

Этап 4.3.2

Сократим общий множитель $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Вынесем множитель $π$ из $3 π$ .

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{π \cdot 3}$

Этап 4.3.2.2

Сократим общий множитель.

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{π \cdot 3}$

Этап 4.3.2.3

Перепишем это выражение.

$x = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}$

Этап 4.3.3

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{1}{3}$ .

$x = \frac{1}{2 \cdot 3}$

Этап 4.3.4

Умножим $2$ на $3$ .

$x = \frac{1}{6}$

Этап 5

Основной период $y = - 4 \tan (3 π x)$ находится на промежутке $(- \frac{1}{6}, \frac{1}{6})$ , где $- \frac{1}{6}$ и $\frac{1}{6}$ являются вертикальными асимптотами.

$(- \frac{1}{6}, \frac{1}{6})$

Этап 6

Найдем период $\frac{π}{| b |}$ , чтобы найти, где находятся вертикальные асимптоты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

$3 π$ приблизительно равно $9.42477796$ . Это положительное число, поэтому вычтем абсолютное значение.

$\frac{π}{3 π}$

Этап 6.2

Сократим общий множитель $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{π}{3 π}$

Этап 6.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{3}$

Этап 7

Вертикальные асимптоты $y = - 4 \tan (3 π x)$ находятся в точках $- \frac{1}{6}$ , $\frac{1}{6}$ и в каждой точке $\frac{n}{3}$ , где $n$ ― целое число.

$x = \frac{1}{6} + \frac{n}{3}$

Этап 8

У тангенса есть только вертикальные асимптоты.

Нет горизонтальных асимптот

Нет наклонных асимптот

Вертикальные асимптоты: $x = \frac{1}{6} + \frac{n}{3}$ , где $n$ — целое число

Этап 9