Основы мат. анализа Примеры

$\frac{x^{2}}{x^{2} + 16 x + 64}$

Этап 1

Разложим дробь и умножим на общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Перепишем $64$ в виде $8^{2}$ .

$\frac{x^{2}}{x^{2} + 16 x + 8^{2}}$

Этап 1.1.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$16 x = 2 \cdot x \cdot 8$

Этап 1.1.3

Перепишем многочлен.

$\frac{x^{2}}{x^{2} + 2 \cdot x \cdot 8 + 8^{2}}$

Этап 1.1.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , где $a = x$ и $b = 8$ .

$\frac{x^{2}}{{(x + 8)}^{2}}$

Этап 1.2

Для каждого множителя в знаменателе создадим новую дробь, используя множитель в качестве знаменателя, а неизвестное значение — в качестве числителя. Поскольку множитель в знаменателе линейный, поместим одну переменную на его место $A$ .

$\frac{A}{{(x + 8)}^{2}}$

Этап 1.3

$\frac{A}{{(x + 8)}^{2}} + \frac{B}{x + 8}$

Этап 1.4

Умножим каждую дробь в уравнении на знаменатель исходного выражения. В этом случае знаменатель равен ${(x + 8)}^{2}$ .

$\frac{x^{2} {(x + 8)}^{2}}{{(x + 8)}^{2}} = \frac{(A) {(x + 8)}^{2}}{{(x + 8)}^{2}} + \frac{(B) {(x + 8)}^{2}}{x + 8}$

Этап 1.5

Сократим общий множитель ${(x + 8)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x^{2} {(x + 8)}^{2}}{{(x + 8)}^{2}} = \frac{(A) {(x + 8)}^{2}}{{(x + 8)}^{2}} + \frac{(B) {(x + 8)}^{2}}{x + 8}$

Этап 1.5.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} = \frac{(A) {(x + 8)}^{2}}{{(x + 8)}^{2}} + \frac{(B) {(x + 8)}^{2}}{x + 8}$

Этап 1.6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Сократим общий множитель ${(x + 8)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1.1

Сократим общий множитель.

$x^{2} = \frac{A {(x + 8)}^{2}}{{(x + 8)}^{2}} + \frac{(B) {(x + 8)}^{2}}{x + 8}$

Этап 1.6.1.2

Разделим $A$ на $1$ .

$x^{2} = A + \frac{(B) {(x + 8)}^{2}}{x + 8}$

Этап 1.6.2

Сократим общий множитель ${(x + 8)}^{2}$ и $x + 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.2.1

Вынесем множитель $x + 8$ из $(B) {(x + 8)}^{2}$ .

$x^{2} = A + \frac{(x + 8) (B (x + 8))}{x + 8}$

Этап 1.6.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.2.2.1

Умножим на $1$ .

$x^{2} = A + \frac{(x + 8) (B (x + 8))}{(x + 8) \cdot 1}$

Этап 1.6.2.2.2

Сократим общий множитель.

$x^{2} = A + \frac{(x + 8) (B (x + 8))}{(x + 8) \cdot 1}$

Этап 1.6.2.2.3

Перепишем это выражение.

$x^{2} = A + \frac{B (x + 8)}{1}$

Этап 1.6.2.2.4

Разделим $B (x + 8)$ на $1$ .

$x^{2} = A + B (x + 8)$

Этап 1.6.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} = A + B x + B \cdot 8$

Этап 1.6.4

Перенесем $8$ влево от $B$ .

$x^{2} = A + B x + 8 B$

Этап 1.7

Изменим порядок $A$ и $B x$ .

$x^{2} = B x + A + 8 B$

Этап 2

Составим уравнения для переменных элементарной дроби и используем их для создания системы уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $x$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$0 = B$

Этап 2.2

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты членов, не содержащих $x$ . Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$0 = A + 8 B$

Этап 2.3

Составим систему уравнений, чтобы найти коэффициенты элементарных дробей.

$0 = B$

$0 = A + 8 B$

$0 = B$

$0 = A + 8 B$

Этап 3

Решим систему уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $B = 0$ .

$B = 0$

$0 = A + 8 B$

Этап 3.2

Заменим все вхождения $B$ на $0$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Заменим все вхождения $B$ в $0 = A + 8 B$ на $0$ .

$0 = A + 8 (0)$

$B = 0$

Этап 3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Упростим $A + 8 (0)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Умножим $8$ на $0$ .

$0 = A + 0$

$B = 0$

Этап 3.2.2.1.2

Добавим $A$ и $0$ .

$0 = A$

$B = 0$

$0 = A$

$B = 0$

$0 = A$

$B = 0$

$0 = A$

$B = 0$

Этап 3.3

Перепишем уравнение в виде $A = 0$ .

$A = 0$

$B = 0$

Этап 3.4

Решим систему уравнений.

$A = 0 B = 0$

Этап 3.5

Перечислим все решения.

$A = 0, B = 0$

Этап 4

Заменим каждый коэффициент элементарной дроби в $\frac{A}{{(x + 8)}^{2}} + \frac{B}{x + 8}$ значениями, найденными для $A$ и $B$ .

$\frac{0}{{(x + 8)}^{2}} + \frac{0}{x + 8}$