Основы мат. анализа Примеры

$p (x) = - \frac{1}{2} x^{3} + \frac{3}{2} x - 1$

Этап 1

Найдем точки пересечения с осью x.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы найти точки пересечения с осью x, подставим $0$ вместо $y$ и найдем решение для $x$ .

$0 = - \frac{1}{2} x^{3} + \frac{3}{2} x - 1$

Этап 1.2

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Перепишем уравнение в виде $- \frac{1}{2} x^{3} + \frac{3}{2} x - 1 = 0$ .

$- \frac{1}{2} x^{3} + \frac{3}{2} x - 1 = 0$

Этап 1.2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Объединим $x^{3}$ и $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{x^{3}}{2} + \frac{3}{2} x - 1 = 0$

Этап 1.2.2.2

Объединим $\frac{3}{2}$ и $x$ .

$- \frac{x^{3}}{2} + \frac{3 x}{2} - 1 = 0$

Этап 1.2.3

Каждый член в $- \frac{x^{3}}{2} + \frac{3 x}{2} - 1 = 0$ умножим на $2$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Умножим каждый член $- \frac{x^{3}}{2} + \frac{3 x}{2} - 1 = 0$ на $2$ .

$- \frac{x^{3}}{2} \cdot 2 + \frac{3 x}{2} \cdot 2 - 1 \cdot 2 = 0 \cdot 2$

Этап 1.2.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{x^{3}}{2}$ в числитель.

$\frac{- x^{3}}{2} \cdot 2 + \frac{3 x}{2} \cdot 2 - 1 \cdot 2 = 0 \cdot 2$

Этап 1.2.3.2.1.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{- x^{3}}{2} \cdot 2 + \frac{3 x}{2} \cdot 2 - 1 \cdot 2 = 0 \cdot 2$

Этап 1.2.3.2.1.1.3

Перепишем это выражение.

$- x^{3} + \frac{3 x}{2} \cdot 2 - 1 \cdot 2 = 0 \cdot 2$

Этап 1.2.3.2.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1.2.1

Сократим общий множитель.

$- x^{3} + \frac{3 x}{2} \cdot 2 - 1 \cdot 2 = 0 \cdot 2$

Этап 1.2.3.2.1.2.2

Перепишем это выражение.

$- x^{3} + 3 x - 1 \cdot 2 = 0 \cdot 2$

Этап 1.2.3.2.1.3

Умножим $- 1$ на $2$ .

$- x^{3} + 3 x - 2 = 0 \cdot 2$

Этап 1.2.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.3.1

Умножим $0$ на $2$ .

$- x^{3} + 3 x - 2 = 0$

Этап 1.2.4

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- x^{3} + 3 x - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- x^{3}$ .

$- (x^{3}) + 3 x - 2 = 0$

Этап 1.2.4.1.2

Вынесем множитель $- 1$ из $3 x$ .

$- (x^{3}) - (- 3 x) - 2 = 0$

Этап 1.2.4.1.3

Перепишем $- 2$ в виде $- 1 (2)$ .

$- (x^{3}) - (- 3 x) - 1 \cdot 2 = 0$

Этап 1.2.4.1.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x^{3}) - (- 3 x)$ .

$- (x^{3} - 3 x) - 1 \cdot 2 = 0$

Этап 1.2.4.1.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x^{3} - 3 x) - 1 (2)$ .

$- (x^{3} - 3 x + 2) = 0$

Этап 1.2.4.2

Разложим $x^{3} - 3 x + 2$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 2$

$q = \pm 1$

Этап 1.2.4.2.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 2$

Этап 1.2.4.2.3

Подставим $1$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $1$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.3.1

Подставим $1$ в многочлен.

$1^{3} - 3 \cdot 1 + 2$

Этап 1.2.4.2.3.2

Возведем $1$ в степень $3$ .

$1 - 3 \cdot 1 + 2$

Этап 1.2.4.2.3.3

Умножим $- 3$ на $1$ .

$1 - 3 + 2$

Этап 1.2.4.2.3.4

Вычтем $3$ из $1$ .

$- 2 + 2$

Этап 1.2.4.2.3.5

Добавим $- 2$ и $2$ .

$0$

Этап 1.2.4.2.4

Поскольку $1$ — известный корень, разделим многочлен на $x - 1$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{x^{3} - 3 x + 2}{x - 1}$

Этап 1.2.4.2.5

Разделим $x^{3} - 3 x + 2$ на $x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x$

$2$

Этап 1.2.4.2.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$

Этап 1.2.4.2.5.3

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Этап 1.2.4.2.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x^{3} - x^{2}$ .

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Этап 1.2.4.2.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$

Этап 1.2.4.2.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$3 x$

Этап 1.2.4.2.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$3 x$

Этап 1.2.4.2.5.8

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$3 x$
					+	$x^{2}$	-	$x$

Этап 1.2.4.2.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x^{2} - x$ .

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$3 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$

Этап 1.2.4.2.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$3 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							-	$2 x$

Этап 1.2.4.2.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$3 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							-	$2 x$	+	$2$

Этап 1.2.4.2.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 2 x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$x^{2}$	+	$x$	-	$2$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$3 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							-	$2 x$	+	$2$

Этап 1.2.4.2.5.13

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$	+	$x$	-	$2$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$3 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							-	$2 x$	+	$2$
							-	$2 x$	+	$2$

Этап 1.2.4.2.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 2 x + 2$ .

				$x^{2}$	+	$x$	-	$2$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$3 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							-	$2 x$	+	$2$
							+	$2 x$	-	$2$

Этап 1.2.4.2.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$	+	$x$	-	$2$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$3 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							-	$2 x$	+	$2$
							+	$2 x$	-	$2$
										$0$

Этап 1.2.4.2.5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$x^{2} + x - 2$

Этап 1.2.4.2.6

Запишем $x^{3} - 3 x + 2$ в виде набора множителей.

$- ((x - 1) (x^{2} + x - 2)) = 0$

Этап 1.2.4.3

Разложим $x^{2} + x - 2$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.3.1

Разложим $x^{2} + x - 2$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.3.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 2$ , а сумма — $1$ .

$- 1, 2$

Этап 1.2.4.3.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$- ((x - 1) ((x - 1) (x + 2))) = 0$

Этап 1.2.4.3.2

Избавимся от ненужных скобок.

$- ((x - 1) (x - 1) (x + 2)) = 0$

Этап 1.2.4.4

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.4.1

Объединим подобные множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.4.1.1

Возведем $x - 1$ в степень $1$ .

$- ((x - 1) (x - 1) (x + 2)) = 0$

Этап 1.2.4.4.1.2

Возведем $x - 1$ в степень $1$ .

$- ((x - 1) (x - 1) (x + 2)) = 0$

Этап 1.2.4.4.1.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- ({(x - 1)}^{1 + 1} (x + 2)) = 0$

Этап 1.2.4.4.1.4

Добавим $1$ и $1$ .

$- ({(x - 1)}^{2} (x + 2)) = 0$

Этап 1.2.4.4.2

Избавимся от ненужных скобок.

$- {(x - 1)}^{2} (x + 2) = 0$

Этап 1.2.5

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

${(x - 1)}^{2} = 0$

$x + 2 = 0$

Этап 1.2.6

Приравняем ${(x - 1)}^{2}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1

Приравняем ${(x - 1)}^{2}$ к $0$ .

${(x - 1)}^{2} = 0$

Этап 1.2.6.2

Решим ${(x - 1)}^{2} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.2.1

Приравняем $x - 1$ к $0$ .

$x - 1 = 0$

Этап 1.2.6.2.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = 1$

Этап 1.2.7

Приравняем $x + 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.7.1

Приравняем $x + 2$ к $0$ .

$x + 2 = 0$

Этап 1.2.7.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$x = - 2$

Этап 1.2.8

Окончательным решением являются все значения, при которых $- {(x - 1)}^{2} (x + 2) = 0$ верно.

$x = 1, - 2$

Этап 1.3

Точки пересечения с осью x в форме точки.

точки пересечения с осью x: $(1, 0), (- 2, 0)$

Этап 2

Найдем точку пересечения с осью Y.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы найти точки пересечения с осью y, подставим $0$ вместо $x$ и найдем решение для $y$ .

$y = - \frac{1}{2} \cdot {(0)}^{3} + \frac{3}{2} \cdot (0) - 1$

Этап 2.2

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Избавимся от скобок.

$y = - \frac{1}{2} \cdot 0^{3} + \frac{3}{2} \cdot (0) - 1$

Этап 2.2.2

Умножим $\frac{3}{2}$ на $0$ .

$y = - \frac{1}{2} \cdot 0^{3} + \frac{3}{2} \cdot 0 - 1$

Этап 2.2.3

Избавимся от скобок.

$y = - \frac{1}{2} \cdot {(0)}^{3} + \frac{3}{2} \cdot (0) - 1$

Этап 2.2.4

Упростим $- \frac{1}{2} \cdot {(0)}^{3} + \frac{3}{2} \cdot (0) - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$y = - \frac{1}{2} \cdot 0 + \frac{3}{2} \cdot (0) - 1$

Этап 2.2.4.1.2

Умножим $- \frac{1}{2} \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1.2.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$y = 0 (\frac{1}{2}) + \frac{3}{2} \cdot (0) - 1$

Этап 2.2.4.1.2.2

Умножим $0$ на $\frac{1}{2}$ .

$y = 0 + \frac{3}{2} \cdot (0) - 1$

Этап 2.2.4.1.3

Умножим $\frac{3}{2}$ на $0$ .

$y = 0 + 0 - 1$

Этап 2.2.4.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.2.1

Добавим $0$ и $0$ .

$y = 0 - 1$

Этап 2.2.4.2.2

Вычтем $1$ из $0$ .

$y = - 1$

Этап 2.3

Точки пересечения с осью y в форме точки.

Точки пересечения с осью y: $(0, - 1)$

Этап 3

Перечислим пересечения.

точки пересечения с осью x: $(1, 0), (- 2, 0)$

Точки пересечения с осью y: $(0, - 1)$

Этап 4