Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = 7 x^{3} + 53 x^{2} + 29 x + 7$

Этап 1

Приравняем $7 x^{3} + 53 x^{2} + 29 x + 7$ к $0$ .

$7 x^{3} + 53 x^{2} + 29 x + 7 = 0$

Этап 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разложим $7 x^{3} + 53 x^{2} + 29 x + 7$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 7$

$q = \pm 1, \pm 7$

Этап 2.1.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 0.\overline{142857}, \pm 7$

Этап 2.1.3

Подставим $- 7$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $- 7$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Подставим $- 7$ в многочлен.

$7 {(- 7)}^{3} + 53 {(- 7)}^{2} + 29 \cdot - 7 + 7$

Этап 2.1.3.2

Возведем $- 7$ в степень $3$ .

$7 \cdot - 343 + 53 {(- 7)}^{2} + 29 \cdot - 7 + 7$

Этап 2.1.3.3

Умножим $7$ на $- 343$ .

$- 2401 + 53 {(- 7)}^{2} + 29 \cdot - 7 + 7$

Этап 2.1.3.4

Возведем $- 7$ в степень $2$ .

$- 2401 + 53 \cdot 49 + 29 \cdot - 7 + 7$

Этап 2.1.3.5

Умножим $53$ на $49$ .

$- 2401 + 2597 + 29 \cdot - 7 + 7$

Этап 2.1.3.6

Добавим $- 2401$ и $2597$ .

$196 + 29 \cdot - 7 + 7$

Этап 2.1.3.7

Умножим $29$ на $- 7$ .

$196 - 203 + 7$

Этап 2.1.3.8

Вычтем $203$ из $196$ .

$- 7 + 7$

Этап 2.1.3.9

Добавим $- 7$ и $7$ .

$0$

Этап 2.1.4

Поскольку $- 7$ — известный корень, разделим многочлен на $x + 7$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{7 x^{3} + 53 x^{2} + 29 x + 7}{x + 7}$

Этап 2.1.5

Разделим $7 x^{3} + 53 x^{2} + 29 x + 7$ на $x + 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x$

$7$

$7 x^{3}$

$53 x^{2}$

$29 x$

$7$

Этап 2.1.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $7 x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

					$7 x^{2}$
	$x$	+	$7$		$7 x^{3}$	+	$53 x^{2}$	+	$29 x$	+	$7$

Этап 2.1.5.3

Умножим новое частное на делитель.

				$7 x^{2}$
$x$	+	$7$		$7 x^{3}$	+	$53 x^{2}$	+	$29 x$	+	$7$
			+	$7 x^{3}$	+	$49 x^{2}$

Этап 2.1.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $7 x^{3} + 49 x^{2}$ .

				$7 x^{2}$
$x$	+	$7$		$7 x^{3}$	+	$53 x^{2}$	+	$29 x$	+	$7$
			-	$7 x^{3}$	-	$49 x^{2}$

Этап 2.1.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$7 x^{2}$
$x$	+	$7$		$7 x^{3}$	+	$53 x^{2}$	+	$29 x$	+	$7$
			-	$7 x^{3}$	-	$49 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$

Этап 2.1.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$7 x^{2}$
$x$	+	$7$		$7 x^{3}$	+	$53 x^{2}$	+	$29 x$	+	$7$
			-	$7 x^{3}$	-	$49 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	+	$29 x$

Этап 2.1.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $4 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$7 x^{2}$	+	$4 x$
$x$	+	$7$		$7 x^{3}$	+	$53 x^{2}$	+	$29 x$	+	$7$
			-	$7 x^{3}$	-	$49 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	+	$29 x$

Этап 2.1.5.8

Умножим новое частное на делитель.

				$7 x^{2}$	+	$4 x$
$x$	+	$7$		$7 x^{3}$	+	$53 x^{2}$	+	$29 x$	+	$7$
			-	$7 x^{3}$	-	$49 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	+	$29 x$
					+	$4 x^{2}$	+	$28 x$

Этап 2.1.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $4 x^{2} + 28 x$ .

				$7 x^{2}$	+	$4 x$
$x$	+	$7$		$7 x^{3}$	+	$53 x^{2}$	+	$29 x$	+	$7$
			-	$7 x^{3}$	-	$49 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	+	$29 x$
					-	$4 x^{2}$	-	$28 x$

Этап 2.1.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$7 x^{2}$	+	$4 x$
$x$	+	$7$		$7 x^{3}$	+	$53 x^{2}$	+	$29 x$	+	$7$
			-	$7 x^{3}$	-	$49 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	+	$29 x$
					-	$4 x^{2}$	-	$28 x$
							+	$x$

Этап 2.1.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$7 x^{2}$	+	$4 x$
$x$	+	$7$		$7 x^{3}$	+	$53 x^{2}$	+	$29 x$	+	$7$
			-	$7 x^{3}$	-	$49 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	+	$29 x$
					-	$4 x^{2}$	-	$28 x$
							+	$x$	+	$7$

Этап 2.1.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$7 x^{2}$	+	$4 x$	+	$1$
$x$	+	$7$		$7 x^{3}$	+	$53 x^{2}$	+	$29 x$	+	$7$
			-	$7 x^{3}$	-	$49 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	+	$29 x$
					-	$4 x^{2}$	-	$28 x$
							+	$x$	+	$7$

Этап 2.1.5.13

Умножим новое частное на делитель.

				$7 x^{2}$	+	$4 x$	+	$1$
$x$	+	$7$		$7 x^{3}$	+	$53 x^{2}$	+	$29 x$	+	$7$
			-	$7 x^{3}$	-	$49 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	+	$29 x$
					-	$4 x^{2}$	-	$28 x$
							+	$x$	+	$7$
							+	$x$	+	$7$

Этап 2.1.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x + 7$ .

				$7 x^{2}$	+	$4 x$	+	$1$
$x$	+	$7$		$7 x^{3}$	+	$53 x^{2}$	+	$29 x$	+	$7$
			-	$7 x^{3}$	-	$49 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	+	$29 x$
					-	$4 x^{2}$	-	$28 x$
							+	$x$	+	$7$
							-	$x$	-	$7$

Этап 2.1.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$7 x^{2}$	+	$4 x$	+	$1$
$x$	+	$7$		$7 x^{3}$	+	$53 x^{2}$	+	$29 x$	+	$7$
			-	$7 x^{3}$	-	$49 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	+	$29 x$
					-	$4 x^{2}$	-	$28 x$
							+	$x$	+	$7$
							-	$x$	-	$7$
										$0$

Этап 2.1.5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$7 x^{2} + 4 x + 1$

Этап 2.1.6

Запишем $7 x^{3} + 53 x^{2} + 29 x + 7$ в виде набора множителей.

$(x + 7) (7 x^{2} + 4 x + 1) = 0$

Этап 2.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x + 7 = 0$

$7 x^{2} + 4 x + 1 = 0$

Этап 2.3

Приравняем $x + 7$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Приравняем $x + 7$ к $0$ .

$x + 7 = 0$

Этап 2.3.2

Вычтем $7$ из обеих частей уравнения.

$x = - 7$

Этап 2.4

Приравняем $7 x^{2} + 4 x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Приравняем $7 x^{2} + 4 x + 1$ к $0$ .

$7 x^{2} + 4 x + 1 = 0$

Этап 2.4.2

Решим $7 x^{2} + 4 x + 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 2.4.2.2

Подставим значения $a = 7$ , $b = 4$ и $c = 1$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (7 \cdot 1)}}{2 \cdot 7}$

Этап 2.4.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.3.1.1

Возведем $4$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 7 \cdot 1}}{2 \cdot 7}$

Этап 2.4.2.3.1.2

Умножим $- 4 \cdot 7 \cdot 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.3.1.2.1

Умножим $- 4$ на $7$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 28 \cdot 1}}{2 \cdot 7}$

Этап 2.4.2.3.1.2.2

Умножим $- 28$ на $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 28}}{2 \cdot 7}$

Этап 2.4.2.3.1.3

Вычтем $28$ из $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 7}$

Этап 2.4.2.3.1.4

Перепишем $- 12$ в виде $- 1 (12)$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 7}$

Этап 2.4.2.3.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (12)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 7}$

Этап 2.4.2.3.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 7}$

Этап 2.4.2.3.1.7

Перепишем $12$ в виде $2^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.3.1.7.1

Вынесем множитель $4$ из $12$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 7}$

Этап 2.4.2.3.1.7.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 7}$

Этап 2.4.2.3.1.8

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 7}$

Этап 2.4.2.3.1.9

Перенесем $2$ влево от $i$ .

$x = \frac{- 4 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 7}$

Этап 2.4.2.3.2

Умножим $2$ на $7$ .

$x = \frac{- 4 \pm 2 i \sqrt{3}}{14}$

Этап 2.4.2.3.3

Упростим $\frac{- 4 \pm 2 i \sqrt{3}}{14}$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \sqrt{3}}{7}$

Этап 2.4.2.4

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = - \frac{2 - i \sqrt{3}}{7}, - \frac{2 + i \sqrt{3}}{7}$

Этап 2.5

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x + 7) (7 x^{2} + 4 x + 1) = 0$ верно.

$x = - 7, - \frac{2 - i \sqrt{3}}{7}, - \frac{2 + i \sqrt{3}}{7}$

Этап 3