Основы мат. анализа Примеры

$y = 4 x^{6} + 3 x^{5} - 7 x^{3} - 5 x^{2} + 11$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $4 x^{6} + 3 x^{5} - 7 x^{3} - 5 x^{2} + 11$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4 x^{6}] + \frac{d}{d x} [3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [11]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{6}] + \frac{d}{d x} [3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [11]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 x^{6}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x^{6}$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x^{6}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [11]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 6$ .

$4 (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} [3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [11]$

Этап 1.2.3

Умножим $6$ на $4$ .

$24 x^{5} + \frac{d}{d x} [3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [11]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 x^{5}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x^{5}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$24 x^{5} + 3 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [11]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 5$ .

$24 x^{5} + 3 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 7 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [11]$

Этап 1.3.3

Умножим $5$ на $3$ .

$24 x^{5} + 15 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 7 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [11]$

Этап 1.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 7 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Поскольку $- 7$ является константой относительно $x$ , производная $- 7 x^{3}$ по $x$ равна $- 7 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$24 x^{5} + 15 x^{4} - 7 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [11]$

Этап 1.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$24 x^{5} + 15 x^{4} - 7 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [11]$

Этап 1.4.3

Умножим $3$ на $- 7$ .

$24 x^{5} + 15 x^{4} - 21 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [11]$

Этап 1.5

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Поскольку $- 5$ является константой относительно $x$ , производная $- 5 x^{2}$ по $x$ равна $- 5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$24 x^{5} + 15 x^{4} - 21 x^{2} - 5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [11]$

Этап 1.5.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$24 x^{5} + 15 x^{4} - 21 x^{2} - 5 (2 x) + \frac{d}{d x} [11]$

Этап 1.5.3

Умножим $2$ на $- 5$ .

$24 x^{5} + 15 x^{4} - 21 x^{2} - 10 x + \frac{d}{d x} [11]$

Этап 1.6

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Поскольку $11$ является константой относительно $x$ , производная $11$ относительно $x$ равна $0$ .

$24 x^{5} + 15 x^{4} - 21 x^{2} - 10 x + 0$

Этап 1.6.2

Добавим $24 x^{5} + 15 x^{4} - 21 x^{2} - 10 x$ и $0$ .

$f' (x) = 24 x^{5} + 15 x^{4} - 21 x^{2} - 10 x$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $24 x^{5} + 15 x^{4} - 21 x^{2} - 10 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [24 x^{5}] + \frac{d}{d x} [15 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 21 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x]$ .

$\frac{d}{d x} [24 x^{5}] + \frac{d}{d x} [15 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 21 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [24 x^{5}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $24$ является константой относительно $x$ , производная $24 x^{5}$ по $x$ равна $24 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$24 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [15 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 21 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 5$ .

$24 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [15 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 21 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x]$

Этап 2.2.3

Умножим $5$ на $24$ .

$120 x^{4} + \frac{d}{d x} [15 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 21 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [15 x^{4}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $15$ является константой относительно $x$ , производная $15 x^{4}$ по $x$ равна $15 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$120 x^{4} + 15 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 21 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x]$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$120 x^{4} + 15 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 21 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x]$

Этап 2.3.3

Умножим $4$ на $15$ .

$120 x^{4} + 60 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 21 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x]$

Этап 2.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 21 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Поскольку $- 21$ является константой относительно $x$ , производная $- 21 x^{2}$ по $x$ равна $- 21 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$120 x^{4} + 60 x^{3} - 21 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x]$

Этап 2.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$120 x^{4} + 60 x^{3} - 21 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 10 x]$

Этап 2.4.3

Умножим $2$ на $- 21$ .

$120 x^{4} + 60 x^{3} - 42 x + \frac{d}{d x} [- 10 x]$

Этап 2.5

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 10 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Поскольку $- 10$ является константой относительно $x$ , производная $- 10 x$ по $x$ равна $- 10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$120 x^{4} + 60 x^{3} - 42 x - 10 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.5.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$120 x^{4} + 60 x^{3} - 42 x - 10 \cdot 1$

Этап 2.5.3

Умножим $- 10$ на $1$ .

$f'' (x) = 120 x^{4} + 60 x^{3} - 42 x - 10$

Этап 3

Найдем третью производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $120 x^{4} + 60 x^{3} - 42 x - 10$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [120 x^{4}] + \frac{d}{d x} [60 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 42 x] + \frac{d}{d x} [- 10]$ .

$\frac{d}{d x} [120 x^{4}] + \frac{d}{d x} [60 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 42 x] + \frac{d}{d x} [- 10]$

Этап 3.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [120 x^{4}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Поскольку $120$ является константой относительно $x$ , производная $120 x^{4}$ по $x$ равна $120 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$120 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [60 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 42 x] + \frac{d}{d x} [- 10]$

Этап 3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$120 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [60 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 42 x] + \frac{d}{d x} [- 10]$

Этап 3.2.3

Умножим $4$ на $120$ .

$480 x^{3} + \frac{d}{d x} [60 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 42 x] + \frac{d}{d x} [- 10]$

Этап 3.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [60 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Поскольку $60$ является константой относительно $x$ , производная $60 x^{3}$ по $x$ равна $60 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$480 x^{3} + 60 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 42 x] + \frac{d}{d x} [- 10]$

Этап 3.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$480 x^{3} + 60 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 42 x] + \frac{d}{d x} [- 10]$

Этап 3.3.3

Умножим $3$ на $60$ .

$480 x^{3} + 180 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 42 x] + \frac{d}{d x} [- 10]$

Этап 3.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 42 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Поскольку $- 42$ является константой относительно $x$ , производная $- 42 x$ по $x$ равна $- 42 \frac{d}{d x} [x]$ .

$480 x^{3} + 180 x^{2} - 42 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 10]$

Этап 3.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$480 x^{3} + 180 x^{2} - 42 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 10]$

Этап 3.4.3

Умножим $- 42$ на $1$ .

$480 x^{3} + 180 x^{2} - 42 + \frac{d}{d x} [- 10]$

Этап 3.5

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Поскольку $- 10$ является константой относительно $x$ , производная $- 10$ относительно $x$ равна $0$ .

$480 x^{3} + 180 x^{2} - 42 + 0$

Этап 3.5.2

Добавим $480 x^{3} + 180 x^{2} - 42$ и $0$ .

$f''' (x) = 480 x^{3} + 180 x^{2} - 42$