Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = - \frac{1}{2} x^{2} - 4 x + 10$

Этап 1

Перепишем уравнение в форме с выделенной вершиной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Объединим $x^{2}$ и $\frac{1}{2}$ .

$y = - \frac{x^{2}}{2} - 4 x + 10$

Этап 1.2

Составим полный квадрат для $- \frac{x^{2}}{2} - 4 x + 10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = - \frac{1}{2}$

$b = - 4$

$c = 10$

Этап 1.2.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 1.2.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 4}{2 (- \frac{1}{2})}$

Этап 1.2.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1

Сократим общий множитель $- 4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $- 4$ .

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 (- \frac{1}{2})}$

Этап 1.2.3.2.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1.2.1

Сократим общий множитель.

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 (- \frac{1}{2})}$

Этап 1.2.3.2.1.2.2

Перепишем это выражение.

$d = \frac{- 2}{- \frac{1}{2}}$

Этап 1.2.3.2.2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$d = - 2 (- 1 \cdot 2)$

Этап 1.2.3.2.3

Умножим $- 2 (- 1 \cdot 2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.3.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$d = - 2 \cdot - 2$

Этап 1.2.3.2.3.2

Умножим $- 2$ на $- 2$ .

$d = 4$

Этап 1.2.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 10 - \frac{{(- 4)}^{2}}{4 (- \frac{1}{2})}$

Этап 1.2.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1.1

Сократим общий множитель ${(- 4)}^{2}$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1.1.1

Перепишем $- 4$ в виде $- 1 (4)$ .

$e = 10 - \frac{{(- 1 (4))}^{2}}{4 (- \frac{1}{2})}$

Этап 1.2.4.2.1.1.2

Применим правило умножения к $- 1 (4)$ .

$e = 10 - \frac{{(- 1)}^{2} \cdot 4^{2}}{4 (- \frac{1}{2})}$

Этап 1.2.4.2.1.1.3

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$e = 10 - \frac{1 \cdot 4^{2}}{4 (- \frac{1}{2})}$

Этап 1.2.4.2.1.1.4

Умножим $4^{2}$ на $1$ .

$e = 10 - \frac{4^{2}}{4 (- \frac{1}{2})}$

Этап 1.2.4.2.1.1.5

Вынесем множитель $4$ из $4^{2}$ .

$e = 10 - \frac{4 \cdot 4}{4 (- \frac{1}{2})}$

Этап 1.2.4.2.1.1.6

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1.1.6.1

Сократим общий множитель.

$e = 10 - \frac{4 \cdot 4}{4 (- \frac{1}{2})}$

Этап 1.2.4.2.1.1.6.2

Перепишем это выражение.

$e = 10 - \frac{4}{- \frac{1}{2}}$

Этап 1.2.4.2.1.2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$e = 10 - (4 (- 1 \cdot 2))$

Этап 1.2.4.2.1.3

Умножим $- (4 (- 1 \cdot 2))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1.3.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$e = 10 - (4 \cdot - 2)$

Этап 1.2.4.2.1.3.2

Умножим $4$ на $- 2$ .

$e = 10 - - 8$

Этап 1.2.4.2.1.3.3

Умножим $- 1$ на $- 8$ .

$e = 10 + 8$

Этап 1.2.4.2.2

Добавим $10$ и $8$ .

$e = 18$

Этап 1.2.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной $- \frac{1}{2} {(x + 4)}^{2} + 18$ .

$- \frac{1}{2} {(x + 4)}^{2} + 18$

Этап 1.3

Приравняем $y$ к новой правой части.

$y = - \frac{1}{2} \cdot {(x + 4)}^{2} + 18$

Этап 2

Воспользуемся формой с выделенной вершиной $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , чтобы определить значения $a$ , $h$ и $k$ .

$a = - \frac{1}{2}$

$h = - 4$

$k = 18$

Этап 3

Найдем вершину $(h, k)$ .

$(- 4, 18)$

Этап 4