Основы мат. анализа Примеры

$2 x^{6} - 3 x^{5} - 13 x^{4} + 29 x^{3} - 27 x^{2} + 32 x - 12$

Этап 1

Приравняем $2 x^{6} - 3 x^{5} - 13 x^{4} + 29 x^{3} - 27 x^{2} + 32 x - 12$ к $0$ .

$2 x^{6} - 3 x^{5} - 13 x^{4} + 29 x^{3} - 27 x^{2} + 32 x - 12 = 0$

Этап 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Разложим $2 x^{6} - 3 x^{5} - 13 x^{4} + 29 x^{3} - 27 x^{2} + 32 x - 12$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 12, \pm 2, \pm 6, \pm 3, \pm 4$

$q = \pm 1, \pm 2$

Этап 2.1.1.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 12, \pm 6, \pm 2, \pm 3, \pm 1.5, \pm 4$

Этап 2.1.1.3

Подставим $0.5$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $0.5$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.3.1

Подставим $0.5$ в многочлен.

$2 \cdot {0.5}^{6} - 3 \cdot {0.5}^{5} - 13 \cdot {0.5}^{4} + 29 \cdot {0.5}^{3} - 27 \cdot {0.5}^{2} + 32 \cdot 0.5 - 12$

Этап 2.1.1.3.2

Возведем $0.5$ в степень $6$ .

$2 \cdot 0.015625 - 3 \cdot {0.5}^{5} - 13 \cdot {0.5}^{4} + 29 \cdot {0.5}^{3} - 27 \cdot {0.5}^{2} + 32 \cdot 0.5 - 12$

Этап 2.1.1.3.3

Умножим $2$ на $0.015625$ .

$0.03125 - 3 \cdot {0.5}^{5} - 13 \cdot {0.5}^{4} + 29 \cdot {0.5}^{3} - 27 \cdot {0.5}^{2} + 32 \cdot 0.5 - 12$

Этап 2.1.1.3.4

Возведем $0.5$ в степень $5$ .

$0.03125 - 3 \cdot 0.03125 - 13 \cdot {0.5}^{4} + 29 \cdot {0.5}^{3} - 27 \cdot {0.5}^{2} + 32 \cdot 0.5 - 12$

Этап 2.1.1.3.5

Умножим $- 3$ на $0.03125$ .

$0.03125 - 0.09375 - 13 \cdot {0.5}^{4} + 29 \cdot {0.5}^{3} - 27 \cdot {0.5}^{2} + 32 \cdot 0.5 - 12$

Этап 2.1.1.3.6

Вычтем $0.09375$ из $0.03125$ .

$- 0.0625 - 13 \cdot {0.5}^{4} + 29 \cdot {0.5}^{3} - 27 \cdot {0.5}^{2} + 32 \cdot 0.5 - 12$

Этап 2.1.1.3.7

Возведем $0.5$ в степень $4$ .

$- 0.0625 - 13 \cdot 0.0625 + 29 \cdot {0.5}^{3} - 27 \cdot {0.5}^{2} + 32 \cdot 0.5 - 12$

Этап 2.1.1.3.8

Умножим $- 13$ на $0.0625$ .

$- 0.0625 - 0.8125 + 29 \cdot {0.5}^{3} - 27 \cdot {0.5}^{2} + 32 \cdot 0.5 - 12$

Этап 2.1.1.3.9

Вычтем $0.8125$ из $- 0.0625$ .

$- 0.875 + 29 \cdot {0.5}^{3} - 27 \cdot {0.5}^{2} + 32 \cdot 0.5 - 12$

Этап 2.1.1.3.10

Возведем $0.5$ в степень $3$ .

$- 0.875 + 29 \cdot 0.125 - 27 \cdot {0.5}^{2} + 32 \cdot 0.5 - 12$

Этап 2.1.1.3.11

Умножим $29$ на $0.125$ .

$- 0.875 + 3.625 - 27 \cdot {0.5}^{2} + 32 \cdot 0.5 - 12$

Этап 2.1.1.3.12

Добавим $- 0.875$ и $3.625$ .

$2.75 - 27 \cdot {0.5}^{2} + 32 \cdot 0.5 - 12$

Этап 2.1.1.3.13

Возведем $0.5$ в степень $2$ .

$2.75 - 27 \cdot 0.25 + 32 \cdot 0.5 - 12$

Этап 2.1.1.3.14

Умножим $- 27$ на $0.25$ .

$2.75 - 6.75 + 32 \cdot 0.5 - 12$

Этап 2.1.1.3.15

Вычтем $6.75$ из $2.75$ .

$- 4 + 32 \cdot 0.5 - 12$

Этап 2.1.1.3.16

Умножим $32$ на $0.5$ .

$- 4 + 16 - 12$

Этап 2.1.1.3.17

Добавим $- 4$ и $16$ .

$12 - 12$

Этап 2.1.1.3.18

Вычтем $12$ из $12$ .

$0$

Этап 2.1.1.4

Поскольку $0.5$ — известный корень, разделим многочлен на $2 x - 1$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{2 x^{6} - 3 x^{5} - 13 x^{4} + 29 x^{3} - 27 x^{2} + 32 x - 12}{2 x - 1}$

Этап 2.1.1.5

Разделим $2 x^{6} - 3 x^{5} - 13 x^{4} + 29 x^{3} - 27 x^{2} + 32 x - 12$ на $2 x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$2 x$

$1$

$2 x^{6}$

$3 x^{5}$

$13 x^{4}$

$29 x^{3}$

$27 x^{2}$

$32 x$

$12$

Этап 2.1.1.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $2 x^{6}$ на член с максимальной степенью в делителе $2 x$ .

					$x^{5}$
	$2 x$	-	$1$		$2 x^{6}$	-	$3 x^{5}$	-	$13 x^{4}$	+	$29 x^{3}$	-	$27 x^{2}$	+	$32 x$	-	$12$

Этап 2.1.1.5.3

Умножим новое частное на делитель.

$x^{5}$

$2 x$

$1$

$2 x^{6}$

$3 x^{5}$

$13 x^{4}$

$29 x^{3}$

$27 x^{2}$

$32 x$

$12$

$2 x^{6}$

$x^{5}$

Этап 2.1.1.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $2 x^{6} - x^{5}$ .

$x^{5}$

$2 x$

$1$

$2 x^{6}$

$3 x^{5}$

$13 x^{4}$

$29 x^{3}$

$27 x^{2}$

$32 x$

$12$

$2 x^{6}$

$x^{5}$

Этап 2.1.1.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$x^{5}$

$2 x$

$1$

$2 x^{6}$

$3 x^{5}$

$13 x^{4}$

$29 x^{3}$

$27 x^{2}$

$32 x$

$12$

$2 x^{6}$

$x^{5}$

$2 x^{5}$

Этап 2.1.1.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{5}$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{6}$	-	$3 x^{5}$	-	$13 x^{4}$	+	$29 x^{3}$	-	$27 x^{2}$	+	$32 x$	-	$12$
			-	$2 x^{6}$	+	$x^{5}$
					-	$2 x^{5}$	-	$13 x^{4}$

Этап 2.1.1.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 2 x^{5}$ на член с максимальной степенью в делителе $2 x$ .

				$x^{5}$	-	$x^{4}$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{6}$	-	$3 x^{5}$	-	$13 x^{4}$	+	$29 x^{3}$	-	$27 x^{2}$	+	$32 x$	-	$12$
			-	$2 x^{6}$	+	$x^{5}$
					-	$2 x^{5}$	-	$13 x^{4}$

Этап 2.1.1.5.8

Умножим новое частное на делитель.

$x^{5}$

$x^{4}$

$2 x$

$1$

$2 x^{6}$

$3 x^{5}$

$13 x^{4}$

$29 x^{3}$

$27 x^{2}$

$32 x$

$12$

$2 x^{6}$

$x^{5}$

$2 x^{5}$

$13 x^{4}$

$2 x^{5}$

$x^{4}$

Этап 2.1.1.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 2 x^{5} + x^{4}$ .

$x^{5}$

$x^{4}$

$2 x$

$1$

$2 x^{6}$

$3 x^{5}$

$13 x^{4}$

$29 x^{3}$

$27 x^{2}$

$32 x$

$12$

$2 x^{6}$

$x^{5}$

$2 x^{5}$

$13 x^{4}$

$2 x^{5}$

$x^{4}$

Этап 2.1.1.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$x^{5}$

$x^{4}$

$2 x$

$1$

$2 x^{6}$

$3 x^{5}$

$13 x^{4}$

$29 x^{3}$

$27 x^{2}$

$32 x$

$12$

$2 x^{6}$

$x^{5}$

$2 x^{5}$

$13 x^{4}$

$2 x^{5}$

$x^{4}$

$14 x^{4}$

Этап 2.1.1.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$x^{5}$

$x^{4}$

$2 x$

$1$

$2 x^{6}$

$3 x^{5}$

$13 x^{4}$

$29 x^{3}$

$27 x^{2}$

$32 x$

$12$

$2 x^{6}$

$x^{5}$

$2 x^{5}$

$13 x^{4}$

$2 x^{5}$

$x^{4}$

$14 x^{4}$

$29 x^{3}$

Этап 2.1.1.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 14 x^{4}$ на член с максимальной степенью в делителе $2 x$ .

$x^{5}$

$x^{4}$

$7 x^{3}$

$2 x$

$1$

$2 x^{6}$

$3 x^{5}$

$13 x^{4}$

$29 x^{3}$

$27 x^{2}$

$32 x$

$12$

$2 x^{6}$

$x^{5}$

$2 x^{5}$

$13 x^{4}$

$2 x^{5}$

$x^{4}$

$14 x^{4}$

$29 x^{3}$

Этап 2.1.1.5.13

Умножим новое частное на делитель.

$x^{5}$

$x^{4}$

$7 x^{3}$

$2 x$

$1$

$2 x^{6}$

$3 x^{5}$

$13 x^{4}$

$29 x^{3}$

$27 x^{2}$

$32 x$

$12$

$2 x^{6}$

$x^{5}$

$2 x^{5}$

$13 x^{4}$

$2 x^{5}$

$x^{4}$

$14 x^{4}$

$29 x^{3}$

$14 x^{4}$

$7 x^{3}$

Этап 2.1.1.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 14 x^{4} + 7 x^{3}$ .

$x^{5}$

$x^{4}$

$7 x^{3}$

$2 x$

$1$

$2 x^{6}$

$3 x^{5}$

$13 x^{4}$

$29 x^{3}$

$27 x^{2}$

$32 x$

$12$

$2 x^{6}$

$x^{5}$

$2 x^{5}$

$13 x^{4}$

$2 x^{5}$

$x^{4}$

$14 x^{4}$

$29 x^{3}$

$14 x^{4}$

$7 x^{3}$

Этап 2.1.1.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$x^{5}$

$x^{4}$

$7 x^{3}$

$2 x$

$1$

$2 x^{6}$

$3 x^{5}$

$13 x^{4}$

$29 x^{3}$

$27 x^{2}$

$32 x$

$12$

$2 x^{6}$

$x^{5}$

$2 x^{5}$

$13 x^{4}$

$2 x^{5}$

$x^{4}$

$14 x^{4}$

$29 x^{3}$

$14 x^{4}$

$7 x^{3}$

$22 x^{3}$

Этап 2.1.1.5.16

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$x^{5}$

$x^{4}$

$7 x^{3}$

$2 x$

$1$

$2 x^{6}$

$3 x^{5}$

$13 x^{4}$

$29 x^{3}$

$27 x^{2}$

$32 x$

$12$

$2 x^{6}$

$x^{5}$

$2 x^{5}$

$13 x^{4}$

$2 x^{5}$

$x^{4}$

$14 x^{4}$

$29 x^{3}$

$14 x^{4}$

$7 x^{3}$

$22 x^{3}$

$27 x^{2}$

Этап 2.1.1.5.17

Разделим член с максимальной степенью в делимом $22 x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $2 x$ .

$x^{5}$

$x^{4}$

$7 x^{3}$

$11 x^{2}$

$2 x$

$1$

$2 x^{6}$

$3 x^{5}$

$13 x^{4}$

$29 x^{3}$

$27 x^{2}$

$32 x$

$12$

$2 x^{6}$

$x^{5}$

$2 x^{5}$

$13 x^{4}$

$2 x^{5}$

$x^{4}$

$14 x^{4}$

$29 x^{3}$

$14 x^{4}$

$7 x^{3}$

$22 x^{3}$

$27 x^{2}$

Этап 2.1.1.5.18

Умножим новое частное на делитель.

$x^{5}$

$x^{4}$

$7 x^{3}$

$11 x^{2}$

$2 x$

$1$

$2 x^{6}$

$3 x^{5}$

$13 x^{4}$

$29 x^{3}$

$27 x^{2}$

$32 x$

$12$

$2 x^{6}$

$x^{5}$

$2 x^{5}$

$13 x^{4}$

$2 x^{5}$

$x^{4}$

$14 x^{4}$

$29 x^{3}$

$14 x^{4}$

$7 x^{3}$

$22 x^{3}$

$27 x^{2}$

$22 x^{3}$

$11 x^{2}$

Этап 2.1.1.5.19

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $22 x^{3} - 11 x^{2}$ .

$x^{5}$

$x^{4}$

$7 x^{3}$

$11 x^{2}$

$2 x$

$1$

$2 x^{6}$

$3 x^{5}$

$13 x^{4}$

$29 x^{3}$

$27 x^{2}$

$32 x$

$12$

$2 x^{6}$

$x^{5}$

$2 x^{5}$

$13 x^{4}$

$2 x^{5}$

$x^{4}$

$14 x^{4}$

$29 x^{3}$

$14 x^{4}$

$7 x^{3}$

$22 x^{3}$

$27 x^{2}$

$22 x^{3}$

$11 x^{2}$

Этап 2.1.1.5.20

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$x^{5}$

$x^{4}$

$7 x^{3}$

$11 x^{2}$

$2 x$

$1$

$2 x^{6}$

$3 x^{5}$

$13 x^{4}$

$29 x^{3}$

$27 x^{2}$

$32 x$

$12$

$2 x^{6}$

$x^{5}$

$2 x^{5}$

$13 x^{4}$

$2 x^{5}$

$x^{4}$

$14 x^{4}$

$29 x^{3}$

$14 x^{4}$

$7 x^{3}$

$22 x^{3}$

$27 x^{2}$

$22 x^{3}$

$11 x^{2}$

$16 x^{2}$

Этап 2.1.1.5.21

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$x^{5}$

$x^{4}$

$7 x^{3}$

$11 x^{2}$

$2 x$

$1$

$2 x^{6}$

$3 x^{5}$

$13 x^{4}$

$29 x^{3}$

$27 x^{2}$

$32 x$

$12$

$2 x^{6}$

$x^{5}$

$2 x^{5}$

$13 x^{4}$

$2 x^{5}$

$x^{4}$

$14 x^{4}$

$29 x^{3}$

$14 x^{4}$

$7 x^{3}$

$22 x^{3}$

$27 x^{2}$

$22 x^{3}$

$11 x^{2}$

$16 x^{2}$

$32 x$

Этап 2.1.1.5.22

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 16 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $2 x$ .

$x^{5}$

$x^{4}$

$7 x^{3}$

$11 x^{2}$

$8 x$

$2 x$

$1$

$2 x^{6}$

$3 x^{5}$

$13 x^{4}$

$29 x^{3}$

$27 x^{2}$

$32 x$

$12$

$2 x^{6}$

$x^{5}$

$2 x^{5}$

$13 x^{4}$

$2 x^{5}$

$x^{4}$

$14 x^{4}$

$29 x^{3}$

$14 x^{4}$

$7 x^{3}$

$22 x^{3}$

$27 x^{2}$

$22 x^{3}$

$11 x^{2}$

$16 x^{2}$

$32 x$

Этап 2.1.1.5.23

Умножим новое частное на делитель.

$x^{5}$

$x^{4}$

$7 x^{3}$

$11 x^{2}$

$8 x$

$2 x$

$1$

$2 x^{6}$

$3 x^{5}$

$13 x^{4}$

$29 x^{3}$

$27 x^{2}$

$32 x$

$12$

$2 x^{6}$

$x^{5}$

$2 x^{5}$

$13 x^{4}$

$2 x^{5}$

$x^{4}$

$14 x^{4}$

$29 x^{3}$

$14 x^{4}$

$7 x^{3}$

$22 x^{3}$

$27 x^{2}$

$22 x^{3}$

$11 x^{2}$

$16 x^{2}$

$32 x$

$16 x^{2}$

$8 x$

Этап 2.1.1.5.24

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 16 x^{2} + 8 x$ .

$x^{5}$

$x^{4}$

$7 x^{3}$

$11 x^{2}$

$8 x$

$2 x$

$1$

$2 x^{6}$

$3 x^{5}$

$13 x^{4}$

$29 x^{3}$

$27 x^{2}$

$32 x$

$12$

$2 x^{6}$

$x^{5}$

$2 x^{5}$

$13 x^{4}$

$2 x^{5}$

$x^{4}$

$14 x^{4}$

$29 x^{3}$

$14 x^{4}$

$7 x^{3}$

$22 x^{3}$

$27 x^{2}$

$22 x^{3}$

$11 x^{2}$

$16 x^{2}$

$32 x$

$16 x^{2}$

$8 x$

Этап 2.1.1.5.25

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$x^{5}$

$x^{4}$

$7 x^{3}$

$11 x^{2}$

$8 x$

$2 x$

$1$

$2 x^{6}$

$3 x^{5}$

$13 x^{4}$

$29 x^{3}$

$27 x^{2}$

$32 x$

$12$

$2 x^{6}$

$x^{5}$

$2 x^{5}$

$13 x^{4}$

$2 x^{5}$

$x^{4}$

$14 x^{4}$

$29 x^{3}$

$14 x^{4}$

$7 x^{3}$

$22 x^{3}$

$27 x^{2}$

$22 x^{3}$

$11 x^{2}$

$16 x^{2}$

$32 x$

$16 x^{2}$

$8 x$

$24 x$

Этап 2.1.1.5.26

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$x^{5}$

$x^{4}$

$7 x^{3}$

$11 x^{2}$

$8 x$

$2 x$

$1$

$2 x^{6}$

$3 x^{5}$

$13 x^{4}$

$29 x^{3}$

$27 x^{2}$

$32 x$

$12$

$2 x^{6}$

$x^{5}$

$2 x^{5}$

$13 x^{4}$

$2 x^{5}$

$x^{4}$

$14 x^{4}$

$29 x^{3}$

$14 x^{4}$

$7 x^{3}$

$22 x^{3}$

$27 x^{2}$

$22 x^{3}$

$11 x^{2}$

$16 x^{2}$

$32 x$

$16 x^{2}$

$8 x$

$24 x$

$12$

Этап 2.1.1.5.27

Разделим член с максимальной степенью в делимом $24 x$ на член с максимальной степенью в делителе $2 x$ .

$x^{5}$

$x^{4}$

$7 x^{3}$

$11 x^{2}$

$8 x$

$12$

$2 x$

$1$

$2 x^{6}$

$3 x^{5}$

$13 x^{4}$

$29 x^{3}$

$27 x^{2}$

$32 x$

$12$

$2 x^{6}$

$x^{5}$

$2 x^{5}$

$13 x^{4}$

$2 x^{5}$

$x^{4}$

$14 x^{4}$

$29 x^{3}$

$14 x^{4}$

$7 x^{3}$

$22 x^{3}$

$27 x^{2}$

$22 x^{3}$

$11 x^{2}$

$16 x^{2}$

$32 x$

$16 x^{2}$

$8 x$

$24 x$

$12$

Этап 2.1.1.5.28

Умножим новое частное на делитель.

$x^{5}$

$x^{4}$

$7 x^{3}$

$11 x^{2}$

$8 x$

$12$

$2 x$

$1$

$2 x^{6}$

$3 x^{5}$

$13 x^{4}$

$29 x^{3}$

$27 x^{2}$

$32 x$

$12$

$2 x^{6}$

$x^{5}$

$2 x^{5}$

$13 x^{4}$

$2 x^{5}$

$x^{4}$

$14 x^{4}$

$29 x^{3}$

$14 x^{4}$

$7 x^{3}$

$22 x^{3}$

$27 x^{2}$

$22 x^{3}$

$11 x^{2}$

$16 x^{2}$

$32 x$

$16 x^{2}$

$8 x$

$24 x$

$12$

$24 x$

$12$

Этап 2.1.1.5.29

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $24 x - 12$ .

$x^{5}$

$x^{4}$

$7 x^{3}$

$11 x^{2}$

$8 x$

$12$

$2 x$

$1$

$2 x^{6}$

$3 x^{5}$

$13 x^{4}$

$29 x^{3}$

$27 x^{2}$

$32 x$

$12$

$2 x^{6}$

$x^{5}$

$2 x^{5}$

$13 x^{4}$

$2 x^{5}$

$x^{4}$

$14 x^{4}$

$29 x^{3}$

$14 x^{4}$

$7 x^{3}$

$22 x^{3}$

$27 x^{2}$

$22 x^{3}$

$11 x^{2}$

$16 x^{2}$

$32 x$

$16 x^{2}$

$8 x$

$24 x$

$12$

$24 x$

$12$

Этап 2.1.1.5.30

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$x^{5}$

$x^{4}$

$7 x^{3}$

$11 x^{2}$

$8 x$

$12$

$2 x$

$1$

$2 x^{6}$

$3 x^{5}$

$13 x^{4}$

$29 x^{3}$

$27 x^{2}$

$32 x$

$12$

$2 x^{6}$

$x^{5}$

$2 x^{5}$

$13 x^{4}$

$2 x^{5}$

$x^{4}$

$14 x^{4}$

$29 x^{3}$

$14 x^{4}$

$7 x^{3}$

$22 x^{3}$

$27 x^{2}$

$22 x^{3}$

$11 x^{2}$

$16 x^{2}$

$32 x$

$16 x^{2}$

$8 x$

$24 x$

$12$

$24 x$

$12$

$0$

Этап 2.1.1.5.31

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$x^{5} - x^{4} - 7 x^{3} + 11 x^{2} - 8 x + 12$

Этап 2.1.1.6

Запишем $2 x^{6} - 3 x^{5} - 13 x^{4} + 29 x^{3} - 27 x^{2} + 32 x - 12$ в виде набора множителей.

$(2 x - 1) (x^{5} - x^{4} - 7 x^{3} + 11 x^{2} - 8 x + 12) = 0$

Этап 2.1.2

Перегруппируем члены.

$(2 x - 1) (x^{5} - x^{4} - 8 x - 7 x^{3} + 11 x^{2} + 12) = 0$

Этап 2.1.3

Вынесем множитель $x$ из $x^{5} - x^{4} - 8 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{5}$ .

$(2 x - 1) (x \cdot x^{4} - x^{4} - 8 x - 7 x^{3} + 11 x^{2} + 12) = 0$

Этап 2.1.3.2

Вынесем множитель $x$ из $- x^{4}$ .

$(2 x - 1) (x \cdot x^{4} + x (- x^{3}) - 8 x - 7 x^{3} + 11 x^{2} + 12) = 0$

Этап 2.1.3.3

Вынесем множитель $x$ из $- 8 x$ .

$(2 x - 1) (x \cdot x^{4} + x (- x^{3}) + x \cdot - 8 - 7 x^{3} + 11 x^{2} + 12) = 0$

Этап 2.1.3.4

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot x^{4} + x (- x^{3})$ .

$(2 x - 1) (x (x^{4} - x^{3}) + x \cdot - 8 - 7 x^{3} + 11 x^{2} + 12) = 0$

Этап 2.1.3.5

Вынесем множитель $x$ из $x (x^{4} - x^{3}) + x \cdot - 8$ .

$(2 x - 1) (x (x^{4} - x^{3} - 8) - 7 x^{3} + 11 x^{2} + 12) = 0$

Этап 2.1.4

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.1

Разложим $x^{4} - x^{3} - 8$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.1.1

$p = \pm 1, \pm 8, \pm 2, \pm 4$

$q = \pm 1$

Этап 2.1.4.1.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 8, \pm 2, \pm 4$

Этап 2.1.4.1.3

Подставим $2$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $2$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.1.3.1

Подставим $2$ в многочлен.

$2^{4} - 2^{3} - 8$

Этап 2.1.4.1.3.2

Возведем $2$ в степень $4$ .

$16 - 2^{3} - 8$

Этап 2.1.4.1.3.3

Возведем $2$ в степень $3$ .

$16 - 1 \cdot 8 - 8$

Этап 2.1.4.1.3.4

Умножим $- 1$ на $8$ .

$16 - 8 - 8$

Этап 2.1.4.1.3.5

Вычтем $8$ из $16$ .

$8 - 8$

Этап 2.1.4.1.3.6

Вычтем $8$ из $8$ .

$0$

Этап 2.1.4.1.4

Поскольку $2$ — известный корень, разделим многочлен на $x - 2$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{x^{4} - x^{3} - 8}{x - 2}$

Этап 2.1.4.1.5

Разделим $x^{4} - x^{3} - 8$ на $x - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.1.5.1

$x$

$2$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$8$

Этап 2.1.4.1.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x^{4}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

$x^{3}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$8$

Этап 2.1.4.1.5.3

Умножим новое частное на делитель.

$x^{3}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$8$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

Этап 2.1.4.1.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x^{4} - 2 x^{3}$ .

$x^{3}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$8$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

Этап 2.1.4.1.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$x^{3}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$8$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$x^{3}$

Этап 2.1.4.1.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$x^{3}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$8$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

Этап 2.1.4.1.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$8$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

Этап 2.1.4.1.5.8

Умножим новое частное на делитель.

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$8$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

Этап 2.1.4.1.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x^{3} - 2 x^{2}$ .

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$8$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

Этап 2.1.4.1.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$8$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

Этап 2.1.4.1.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$8$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$0 x$

Этап 2.1.4.1.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $2 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

$x^{3}$

$x^{2}$

$2 x$

$x$

$2$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$8$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$0 x$

Этап 2.1.4.1.5.13

Умножим новое частное на делитель.

$x^{3}$

$x^{2}$

$2 x$

$x$

$2$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$8$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$2 x^{2}$

$4 x$

Этап 2.1.4.1.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $2 x^{2} - 4 x$ .

$x^{3}$

$x^{2}$

$2 x$

$x$

$2$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$8$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$2 x^{2}$

$4 x$

Этап 2.1.4.1.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$x^{3}$

$x^{2}$

$2 x$

$x$

$2$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$8$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$2 x^{2}$

$4 x$

Этап 2.1.4.1.5.16

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$x^{3}$

$x^{2}$

$2 x$

$x$

$2$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$8$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$2 x^{2}$

$4 x$

$8$

Этап 2.1.4.1.5.17

Разделим член с максимальной степенью в делимом $4 x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

$x^{3}$

$x^{2}$

$2 x$

$4$

$x$

$2$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$8$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$2 x^{2}$

$4 x$

$8$

Этап 2.1.4.1.5.18

Умножим новое частное на делитель.

$x^{3}$

$x^{2}$

$2 x$

$4$

$x$

$2$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$8$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$2 x^{2}$

$4 x$

$8$

$4 x$

$8$

Этап 2.1.4.1.5.19

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $4 x - 8$ .

$x^{3}$

$x^{2}$

$2 x$

$4$

$x$

$2$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$8$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$2 x^{2}$

$4 x$

$8$

$4 x$

$8$

Этап 2.1.4.1.5.20

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$x^{3}$

$x^{2}$

$2 x$

$4$

$x$

$2$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$8$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$2 x^{2}$

$4 x$

$8$

$4 x$

$8$

$0$

Этап 2.1.4.1.5.21

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$x^{3} + x^{2} + 2 x + 4$

Этап 2.1.4.1.6

Запишем $x^{4} - x^{3} - 8$ в виде набора множителей.

$(2 x - 1) (x ((x - 2) (x^{3} + x^{2} + 2 x + 4)) - 7 x^{3} + 11 x^{2} + 12) = 0$

Этап 2.1.4.2

Избавимся от ненужных скобок.

$(2 x - 1) (x (x - 2) (x^{3} + x^{2} + 2 x + 4) - 7 x^{3} + 11 x^{2} + 12) = 0$

Этап 2.1.5

Разложим $- 7 x^{3} + 11 x^{2} + 12$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.5.1

$p = \pm 1, \pm 12, \pm 2, \pm 6, \pm 3, \pm 4$

$q = \pm 1, \pm 7$

Этап 2.1.5.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 0.\overline{142857}, \pm 12, \pm 1.\overline{714285}, \pm 2, \pm 0.\overline{285714}, \pm 6, \pm 0.\overline{857142}, \pm 3, \pm 0.\overline{428571}, \pm 4, \pm 0.\overline{571428}$

Этап 2.1.5.3

Подставим $2$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $2$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.5.3.1

Подставим $2$ в многочлен.

$- 7 \cdot 2^{3} + 11 \cdot 2^{2} + 12$

Этап 2.1.5.3.2

Возведем $2$ в степень $3$ .

$- 7 \cdot 8 + 11 \cdot 2^{2} + 12$

Этап 2.1.5.3.3

Умножим $- 7$ на $8$ .

$- 56 + 11 \cdot 2^{2} + 12$

Этап 2.1.5.3.4

Возведем $2$ в степень $2$ .

$- 56 + 11 \cdot 4 + 12$

Этап 2.1.5.3.5

Умножим $11$ на $4$ .

$- 56 + 44 + 12$

Этап 2.1.5.3.6

Добавим $- 56$ и $44$ .

$- 12 + 12$

Этап 2.1.5.3.7

Добавим $- 12$ и $12$ .

$0$

Этап 2.1.5.4

$\frac{- 7 x^{3} + 11 x^{2} + 12}{x - 2}$

Этап 2.1.5.5

Разделим $- 7 x^{3} + 11 x^{2} + 12$ на $x - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.5.5.1

$x$

$2$

$7 x^{3}$

$11 x^{2}$

$0 x$

$12$

Этап 2.1.5.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 7 x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				-	$7 x^{2}$
	$x$	-	$2$	-	$7 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	+	$0 x$	+	$12$

Этап 2.1.5.5.3

Умножим новое частное на делитель.

			-	$7 x^{2}$
$x$	-	$2$	-	$7 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	+	$0 x$	+	$12$
			-	$7 x^{3}$	+	$14 x^{2}$

Этап 2.1.5.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 7 x^{3} + 14 x^{2}$ .

			-	$7 x^{2}$
$x$	-	$2$	-	$7 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	+	$0 x$	+	$12$
			+	$7 x^{3}$	-	$14 x^{2}$

Этап 2.1.5.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

			-	$7 x^{2}$
$x$	-	$2$	-	$7 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	+	$0 x$	+	$12$
			+	$7 x^{3}$	-	$14 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$

Этап 2.1.5.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

			-	$7 x^{2}$
$x$	-	$2$	-	$7 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	+	$0 x$	+	$12$
			+	$7 x^{3}$	-	$14 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$0 x$

Этап 2.1.5.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 3 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

			-	$7 x^{2}$	-	$3 x$
$x$	-	$2$	-	$7 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	+	$0 x$	+	$12$
			+	$7 x^{3}$	-	$14 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$0 x$

Этап 2.1.5.5.8

Умножим новое частное на делитель.

			-	$7 x^{2}$	-	$3 x$
$x$	-	$2$	-	$7 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	+	$0 x$	+	$12$
			+	$7 x^{3}$	-	$14 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$6 x$

Этап 2.1.5.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 3 x^{2} + 6 x$ .

			-	$7 x^{2}$	-	$3 x$
$x$	-	$2$	-	$7 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	+	$0 x$	+	$12$
			+	$7 x^{3}$	-	$14 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$6 x$

Этап 2.1.5.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

			-	$7 x^{2}$	-	$3 x$
$x$	-	$2$	-	$7 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	+	$0 x$	+	$12$
			+	$7 x^{3}$	-	$14 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$6 x$
							-	$6 x$

Этап 2.1.5.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

			-	$7 x^{2}$	-	$3 x$
$x$	-	$2$	-	$7 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	+	$0 x$	+	$12$
			+	$7 x^{3}$	-	$14 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$6 x$
							-	$6 x$	+	$12$

Этап 2.1.5.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 6 x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

			-	$7 x^{2}$	-	$3 x$	-	$6$
$x$	-	$2$	-	$7 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	+	$0 x$	+	$12$
			+	$7 x^{3}$	-	$14 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$6 x$
							-	$6 x$	+	$12$

Этап 2.1.5.5.13

Умножим новое частное на делитель.

			-	$7 x^{2}$	-	$3 x$	-	$6$
$x$	-	$2$	-	$7 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	+	$0 x$	+	$12$
			+	$7 x^{3}$	-	$14 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$6 x$
							-	$6 x$	+	$12$
							-	$6 x$	+	$12$

Этап 2.1.5.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 6 x + 12$ .

			-	$7 x^{2}$	-	$3 x$	-	$6$
$x$	-	$2$	-	$7 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	+	$0 x$	+	$12$
			+	$7 x^{3}$	-	$14 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$6 x$
							-	$6 x$	+	$12$
							+	$6 x$	-	$12$

Этап 2.1.5.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

			-	$7 x^{2}$	-	$3 x$	-	$6$
$x$	-	$2$	-	$7 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	+	$0 x$	+	$12$
			+	$7 x^{3}$	-	$14 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$6 x$
							-	$6 x$	+	$12$
							+	$6 x$	-	$12$
										$0$

Этап 2.1.5.5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$- 7 x^{2} - 3 x - 6$

Этап 2.1.5.6

Запишем $- 7 x^{3} + 11 x^{2} + 12$ в виде набора множителей.

$(2 x - 1) (x (x - 2) (x^{3} + x^{2} + 2 x + 4) + (x - 2) (- 7 x^{2} - 3 x - 6)) = 0$

Этап 2.1.6

Вынесем множитель $x - 2$ из $x (x - 2) (x^{3} + x^{2} + 2 x + 4) + (x - 2) (- 7 x^{2} - 3 x - 6)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.6.1

Вынесем множитель $x - 2$ из $x (x - 2) (x^{3} + x^{2} + 2 x + 4)$ .

$(2 x - 1) ((x - 2) (x (x^{3} + x^{2} + 2 x + 4)) + (x - 2) (- 7 x^{2} - 3 x - 6)) = 0$

Этап 2.1.6.2

Вынесем множитель $x - 2$ из $(x - 2) (x (x^{3} + x^{2} + 2 x + 4)) + (x - 2) (- 7 x^{2} - 3 x - 6)$ .

$(2 x - 1) ((x - 2) (x (x^{3} + x^{2} + 2 x + 4) - 7 x^{2} - 3 x - 6)) = 0$

Этап 2.1.7

Применим свойство дистрибутивности.

$(2 x - 1) ((x - 2) (x \cdot x^{3} + x \cdot x^{2} + x (2 x) + x \cdot 4 - 7 x^{2} - 3 x - 6)) = 0$

Этап 2.1.8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.8.1

Умножим $x$ на $x^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.8.1.1

Умножим $x$ на $x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.8.1.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$(2 x - 1) ((x - 2) (x \cdot x^{3} + x \cdot x^{2} + x (2 x) + x \cdot 4 - 7 x^{2} - 3 x - 6)) = 0$

Этап 2.1.8.1.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$(2 x - 1) ((x - 2) (x^{1 + 3} + x \cdot x^{2} + x (2 x) + x \cdot 4 - 7 x^{2} - 3 x - 6)) = 0$

Этап 2.1.8.1.2

Добавим $1$ и $3$ .

$(2 x - 1) ((x - 2) (x^{4} + x \cdot x^{2} + x (2 x) + x \cdot 4 - 7 x^{2} - 3 x - 6)) = 0$

Этап 2.1.8.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.8.2.1

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.8.2.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$(2 x - 1) ((x - 2) (x^{4} + x \cdot x^{2} + x (2 x) + x \cdot 4 - 7 x^{2} - 3 x - 6)) = 0$

Этап 2.1.8.2.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$(2 x - 1) ((x - 2) (x^{4} + x^{1 + 2} + x (2 x) + x \cdot 4 - 7 x^{2} - 3 x - 6)) = 0$

Этап 2.1.8.2.2

Добавим $1$ и $2$ .

$(2 x - 1) ((x - 2) (x^{4} + x^{3} + x (2 x) + x \cdot 4 - 7 x^{2} - 3 x - 6)) = 0$

Этап 2.1.8.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$(2 x - 1) ((x - 2) (x^{4} + x^{3} + 2 x \cdot x + x \cdot 4 - 7 x^{2} - 3 x - 6)) = 0$

Этап 2.1.8.4

Перенесем $4$ влево от $x$ .

$(2 x - 1) ((x - 2) (x^{4} + x^{3} + 2 x \cdot x + 4 \cdot x - 7 x^{2} - 3 x - 6)) = 0$

Этап 2.1.9

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.9.1

Перенесем $x$ .

$(2 x - 1) ((x - 2) (x^{4} + x^{3} + 2 (x \cdot x) + 4 \cdot x - 7 x^{2} - 3 x - 6)) = 0$

Этап 2.1.9.2

Умножим $x$ на $x$ .

$(2 x - 1) ((x - 2) (x^{4} + x^{3} + 2 x^{2} + 4 \cdot x - 7 x^{2} - 3 x - 6)) = 0$

$(2 x - 1) ((x - 2) (x^{4} + x^{3} + 2 x^{2} + 4 x - 7 x^{2} - 3 x - 6)) = 0$

Этап 2.1.10

Вычтем $7 x^{2}$ из $2 x^{2}$ .

$(2 x - 1) ((x - 2) (x^{4} + x^{3} - 5 x^{2} + 4 x - 3 x - 6)) = 0$

Этап 2.1.11

Вычтем $3 x$ из $4 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.11.1

Вычтем $3 x$ из $4 x$ .

$(2 x - 1) ((x - 2) (x^{4} + x^{3} - 5 x^{2} + x - 6)) = 0$

Этап 2.1.11.2

Избавимся от ненужных скобок.

$(2 x - 1) (x - 2) (x^{4} + x^{3} - 5 x^{2} + x - 6) = 0$

Этап 2.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$2 x - 1 = 0$

$x - 2 = 0$

$x^{4} + x^{3} - 5 x^{2} + x - 6 = 0$

Этап 2.3

Приравняем $2 x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Приравняем $2 x - 1$ к $0$ .

$2 x - 1 = 0$

Этап 2.3.2

Решим $2 x - 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$2 x = 1$

Этап 2.3.2.2

Разделим каждый член $2 x = 1$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.1

Разделим каждый член $2 x = 1$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Этап 2.3.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Этап 2.3.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Этап 2.4

Приравняем $x - 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Приравняем $x - 2$ к $0$ .

$x - 2 = 0$

Этап 2.4.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 2$

Этап 2.5

Приравняем $x^{4} + x^{3} - 5 x^{2} + x - 6$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Приравняем $x^{4} + x^{3} - 5 x^{2} + x - 6$ к $0$ .

$x^{4} + x^{3} - 5 x^{2} + x - 6 = 0$

Этап 2.5.2

Решим $x^{4} + x^{3} - 5 x^{2} + x - 6 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1.1

Перегруппируем члены.

$x^{3} + x + x^{4} - 5 x^{2} - 6 = 0$

Этап 2.5.2.1.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{3} + x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{3}$ .

$x \cdot x^{2} + x + x^{4} - 5 x^{2} - 6 = 0$

Этап 2.5.2.1.2.2

Возведем $x$ в степень $1$ .

$x \cdot x^{2} + x + x^{4} - 5 x^{2} - 6 = 0$

Этап 2.5.2.1.2.3

Вынесем множитель $x$ из $x^{1}$ .

$x \cdot x^{2} + x \cdot 1 + x^{4} - 5 x^{2} - 6 = 0$

Этап 2.5.2.1.2.4

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot x^{2} + x \cdot 1$ .

$x (x^{2} + 1) + x^{4} - 5 x^{2} - 6 = 0$

Этап 2.5.2.1.3

Перепишем $x^{4}$ в виде ${(x^{2})}^{2}$ .

$x (x^{2} + 1) + {(x^{2})}^{2} - 5 x^{2} - 6 = 0$

Этап 2.5.2.1.4

Пусть $u = x^{2}$ . Подставим $u$ вместо $x^{2}$ для всех.

$x (x^{2} + 1) + u^{2} - 5 u - 6 = 0$

Этап 2.5.2.1.5

Разложим $u^{2} - 5 u - 6$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1.5.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 6$ , а сумма — $- 5$ .

$- 6, 1$

Этап 2.5.2.1.5.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$x (x^{2} + 1) + (u - 6) (u + 1) = 0$

Этап 2.5.2.1.6

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2}$ .

$x (x^{2} + 1) + (x^{2} - 6) (x^{2} + 1) = 0$

Этап 2.5.2.1.7

Вынесем множитель $x^{2} + 1$ из $x (x^{2} + 1) + (x^{2} - 6) (x^{2} + 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1.7.1

Вынесем множитель $x^{2} + 1$ из $x (x^{2} + 1)$ .

$(x^{2} + 1) x + (x^{2} - 6) (x^{2} + 1) = 0$

Этап 2.5.2.1.7.2

Вынесем множитель $x^{2} + 1$ из $(x^{2} - 6) (x^{2} + 1)$ .

$(x^{2} + 1) x + (x^{2} + 1) (x^{2} - 6) = 0$

Этап 2.5.2.1.7.3

Вынесем множитель $x^{2} + 1$ из $(x^{2} + 1) x + (x^{2} + 1) (x^{2} - 6)$ .

$(x^{2} + 1) (x + x^{2} - 6) = 0$

Этап 2.5.2.1.8

Пусть $u = x$ . Подставим $u$ вместо $x$ для всех.

$(x^{2} + 1) (u + u^{2} - 6) = 0$

Этап 2.5.2.1.9

Разложим $u + u^{2} - 6$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1.9.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 6$ , а сумма — $1$ .

$- 2, 3$

Этап 2.5.2.1.9.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(x^{2} + 1) ((u - 2) (u + 3)) = 0$

Этап 2.5.2.1.10

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1.10.1

Заменим все вхождения $u$ на $x$ .

$(x^{2} + 1) ((x - 2) (x + 3)) = 0$

Этап 2.5.2.1.10.2

Избавимся от ненужных скобок.

$(x^{2} + 1) (x - 2) (x + 3) = 0$

Этап 2.5.2.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x^{2} + 1 = 0$

$x - 2 = 0$

$x + 3 = 0$

Этап 2.5.2.3

Приравняем $x^{2} + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.3.1

Приравняем $x^{2} + 1$ к $0$ .

$x^{2} + 1 = 0$

Этап 2.5.2.3.2

Решим $x^{2} + 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.3.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} = - 1$

Этап 2.5.2.3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 1}$

Этап 2.5.2.3.2.3

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \pm i$

Этап 2.5.2.3.2.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.3.2.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = i$

Этап 2.5.2.3.2.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - i$

Этап 2.5.2.3.2.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = i, - i$

Этап 2.5.2.4

Приравняем $x - 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.4.1

Приравняем $x - 2$ к $0$ .

$x - 2 = 0$

Этап 2.5.2.4.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 2$

Этап 2.5.2.5

Приравняем $x + 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.5.1

Приравняем $x + 3$ к $0$ .

$x + 3 = 0$

Этап 2.5.2.5.2

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$x = - 3$

Этап 2.5.2.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x^{2} + 1) (x - 2) (x + 3) = 0$ верно.

$x = i, - i, 2, - 3$

Этап 2.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $(2 x - 1) (x - 2) (x^{4} + x^{3} - 5 x^{2} + x - 6) = 0$ верно.

$x = \frac{1}{2}, 2, i, - i, - 3$

Этап 3