Основы мат. анализа Примеры

$x^{5} - x^{4} - 5 x^{3} + x^{2} + 8 x + 4$

Этап 1

Приравняем $x^{5} - x^{4} - 5 x^{3} + x^{2} + 8 x + 4$ к $0$ .

$x^{5} - x^{4} - 5 x^{3} + x^{2} + 8 x + 4 = 0$

Этап 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Перегруппируем члены.

$x^{5} + x^{2} - x^{4} - 5 x^{3} + 8 x + 4 = 0$

Этап 2.1.2

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{5} + x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{5}$ .

$x^{2} x^{3} + x^{2} - x^{4} - 5 x^{3} + 8 x + 4 = 0$

Этап 2.1.2.2

Умножим на $1$ .

$x^{2} x^{3} + x^{2} \cdot 1 - x^{4} - 5 x^{3} + 8 x + 4 = 0$

Этап 2.1.2.3

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{2} x^{3} + x^{2} \cdot 1$ .

$x^{2} (x^{3} + 1) - x^{4} - 5 x^{3} + 8 x + 4 = 0$

Этап 2.1.3

Перепишем $1$ в виде $1^{3}$ .

$x^{2} (x^{3} + 1^{3}) - x^{4} - 5 x^{3} + 8 x + 4 = 0$

Этап 2.1.4

Поскольку оба члена являются полными кубами, выполним разложение на множители, используя формулу суммы кубов, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , где $a = x$ и $b = 1$ .

$x^{2} ((x + 1) (x^{2} - x \cdot 1 + 1^{2})) - x^{4} - 5 x^{3} + 8 x + 4 = 0$

Этап 2.1.5

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.5.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.5.1.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$x^{2} ((x + 1) (x^{2} - x + 1^{2})) - x^{4} - 5 x^{3} + 8 x + 4 = 0$

Этап 2.1.5.1.2

Единица в любой степени равна единице.

$x^{2} ((x + 1) (x^{2} - x + 1)) - x^{4} - 5 x^{3} + 8 x + 4 = 0$

Этап 2.1.5.2

Избавимся от ненужных скобок.

$x^{2} (x + 1) (x^{2} - x + 1) - x^{4} - 5 x^{3} + 8 x + 4 = 0$

Этап 2.1.6

Разложим $- x^{4} - 5 x^{3} + 8 x + 4$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.6.1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

$q = \pm 1$

Этап 2.1.6.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 4, \pm 2$

Этап 2.1.6.3

Подставим $- 1$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $- 1$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.6.3.1

Подставим $- 1$ в многочлен.

$- {(- 1)}^{4} - 5 {(- 1)}^{3} + 8 \cdot - 1 + 4$

Этап 2.1.6.3.2

Возведем $- 1$ в степень $4$ .

$- 1 \cdot 1 - 5 {(- 1)}^{3} + 8 \cdot - 1 + 4$

Этап 2.1.6.3.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- 1 - 5 {(- 1)}^{3} + 8 \cdot - 1 + 4$

Этап 2.1.6.3.4

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$- 1 - 5 \cdot - 1 + 8 \cdot - 1 + 4$

Этап 2.1.6.3.5

Умножим $- 5$ на $- 1$ .

$- 1 + 5 + 8 \cdot - 1 + 4$

Этап 2.1.6.3.6

Добавим $- 1$ и $5$ .

$4 + 8 \cdot - 1 + 4$

Этап 2.1.6.3.7

Умножим $8$ на $- 1$ .

$4 - 8 + 4$

Этап 2.1.6.3.8

Вычтем $8$ из $4$ .

$- 4 + 4$

Этап 2.1.6.3.9

Добавим $- 4$ и $4$ .

$0$

Этап 2.1.6.4

Поскольку $- 1$ — известный корень, разделим многочлен на $x + 1$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{- x^{4} - 5 x^{3} + 8 x + 4}{x + 1}$

Этап 2.1.6.5

Разделим $- x^{4} - 5 x^{3} + 8 x + 4$ на $x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.6.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x$

$4$

Этап 2.1.6.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- x^{4}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x$

$4$

Этап 2.1.6.5.3

Умножим новое частное на делитель.

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

Этап 2.1.6.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- x^{4} - x^{3}$ .

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

Этап 2.1.6.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$4 x^{3}$

Этап 2.1.6.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

Этап 2.1.6.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 4 x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

Этап 2.1.6.5.8

Умножим новое частное на делитель.

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

Этап 2.1.6.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 4 x^{3} - 4 x^{2}$ .

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

Этап 2.1.6.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

Этап 2.1.6.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

$8 x$

Этап 2.1.6.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $4 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$4 x$

$x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

$8 x$

Этап 2.1.6.5.13

Умножим новое частное на делитель.

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$4 x$

$x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

$8 x$

$4 x^{2}$

$4 x$

Этап 2.1.6.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $4 x^{2} + 4 x$ .

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$4 x$

$x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

$8 x$

$4 x^{2}$

$4 x$

Этап 2.1.6.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$4 x$

$x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

$8 x$

$4 x^{2}$

$4 x$

Этап 2.1.6.5.16

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$4 x$

$x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

$8 x$

$4 x^{2}$

$4 x$

$4$

Этап 2.1.6.5.17

Разделим член с максимальной степенью в делимом $4 x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$4 x$

$4$

$x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

$8 x$

$4 x^{2}$

$4 x$

$4$

Этап 2.1.6.5.18

Умножим новое частное на делитель.

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$4 x$

$4$

$x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

$8 x$

$4 x^{2}$

$4 x$

$4$

$4 x$

$4$

Этап 2.1.6.5.19

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $4 x + 4$ .

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$4 x$

$4$

$x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

$8 x$

$4 x^{2}$

$4 x$

$4$

$4 x$

$4$

Этап 2.1.6.5.20

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$4 x$

$4$

$x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

$8 x$

$4 x^{2}$

$4 x$

$4$

$4 x$

$4$

$0$

Этап 2.1.6.5.21

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$- x^{3} - 4 x^{2} + 4 x + 4$

Этап 2.1.6.6

Запишем $- x^{4} - 5 x^{3} + 8 x + 4$ в виде набора множителей.

$x^{2} (x + 1) (x^{2} - x + 1) + (x + 1) (- x^{3} - 4 x^{2} + 4 x + 4) = 0$

Этап 2.1.7

Вынесем множитель $x + 1$ из $x^{2} (x + 1) (x^{2} - x + 1) + (x + 1) (- x^{3} - 4 x^{2} + 4 x + 4)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.7.1

Вынесем множитель $x + 1$ из $x^{2} (x + 1) (x^{2} - x + 1)$ .

$(x + 1) (x^{2} (x^{2} - x + 1)) + (x + 1) (- x^{3} - 4 x^{2} + 4 x + 4) = 0$

Этап 2.1.7.2

Вынесем множитель $x + 1$ из $(x + 1) (x^{2} (x^{2} - x + 1)) + (x + 1) (- x^{3} - 4 x^{2} + 4 x + 4)$ .

$(x + 1) (x^{2} (x^{2} - x + 1) - x^{3} - 4 x^{2} + 4 x + 4) = 0$

Этап 2.1.8

Применим свойство дистрибутивности.

$(x + 1) (x^{2} x^{2} + x^{2} (- x) + x^{2} \cdot 1 - x^{3} - 4 x^{2} + 4 x + 4) = 0$

Этап 2.1.9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.9.1

Умножим $x^{2}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.9.1.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$(x + 1) (x^{2 + 2} + x^{2} (- x) + x^{2} \cdot 1 - x^{3} - 4 x^{2} + 4 x + 4) = 0$

Этап 2.1.9.1.2

Добавим $2$ и $2$ .

$(x + 1) (x^{4} + x^{2} (- x) + x^{2} \cdot 1 - x^{3} - 4 x^{2} + 4 x + 4) = 0$

Этап 2.1.9.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$(x + 1) (x^{4} - x^{2} x + x^{2} \cdot 1 - x^{3} - 4 x^{2} + 4 x + 4) = 0$

Этап 2.1.9.3

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$(x + 1) (x^{4} - x^{2} x + x^{2} - x^{3} - 4 x^{2} + 4 x + 4) = 0$

Этап 2.1.10

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.10.1

Перенесем $x$ .

$(x + 1) (x^{4} - (x \cdot x^{2}) + x^{2} - x^{3} - 4 x^{2} + 4 x + 4) = 0$

Этап 2.1.10.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.10.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$(x + 1) (x^{4} - (x \cdot x^{2}) + x^{2} - x^{3} - 4 x^{2} + 4 x + 4) = 0$

Этап 2.1.10.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$(x + 1) (x^{4} - x^{1 + 2} + x^{2} - x^{3} - 4 x^{2} + 4 x + 4) = 0$

Этап 2.1.10.3

Добавим $1$ и $2$ .

$(x + 1) (x^{4} - x^{3} + x^{2} - x^{3} - 4 x^{2} + 4 x + 4) = 0$

Этап 2.1.11

Вычтем $x^{3}$ из $- x^{3}$ .

$(x + 1) (x^{4} - 2 x^{3} + x^{2} - 4 x^{2} + 4 x + 4) = 0$

Этап 2.1.12

Вычтем $4 x^{2}$ из $x^{2}$ .

$(x + 1) (x^{4} - 2 x^{3} - 3 x^{2} + 4 x + 4) = 0$

Этап 2.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x + 1 = 0$

$x^{4} - 2 x^{3} - 3 x^{2} + 4 x + 4 = 0$

Этап 2.3

Приравняем $x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Приравняем $x + 1$ к $0$ .

$x + 1 = 0$

Этап 2.3.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x = - 1$

Этап 2.4

Приравняем $x^{4} - 2 x^{3} - 3 x^{2} + 4 x + 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Приравняем $x^{4} - 2 x^{3} - 3 x^{2} + 4 x + 4$ к $0$ .

$x^{4} - 2 x^{3} - 3 x^{2} + 4 x + 4 = 0$

Этап 2.4.2

Решим $x^{4} - 2 x^{3} - 3 x^{2} + 4 x + 4 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1.1

Перегруппируем члены.

$x^{4} - 2 x^{3} - 3 x^{2} + 4 x + 4 = 0$

Этап 2.4.2.1.2

Вынесем множитель $x^{3}$ из $x^{4} - 2 x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1.2.1

Вынесем множитель $x^{3}$ из $x^{4}$ .

$x^{3} x - 2 x^{3} - 3 x^{2} + 4 x + 4 = 0$

Этап 2.4.2.1.2.2

Вынесем множитель $x^{3}$ из $- 2 x^{3}$ .

$x^{3} x + x^{3} \cdot - 2 - 3 x^{2} + 4 x + 4 = 0$

Этап 2.4.2.1.2.3

Вынесем множитель $x^{3}$ из $x^{3} x + x^{3} \cdot - 2$ .

$x^{3} (x - 2) - 3 x^{2} + 4 x + 4 = 0$

Этап 2.4.2.1.3

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1.3.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = - 3 \cdot 4 = - 12$ , а сумма — $b = 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1.3.1.1

Вынесем множитель $4$ из $4 x$ .

$x^{3} (x - 2) - 3 x^{2} + 4 (x) + 4 = 0$

Этап 2.4.2.1.3.1.2

Запишем $4$ как $- 2$ плюс $6$

$x^{3} (x - 2) - 3 x^{2} + (- 2 + 6) x + 4 = 0$

Этап 2.4.2.1.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{3} (x - 2) - 3 x^{2} - 2 x + 6 x + 4 = 0$

Этап 2.4.2.1.3.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1.3.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$x^{3} (x - 2) - 3 x^{2} - 2 x + 6 x + 4 = 0$

Этап 2.4.2.1.3.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$x^{3} (x - 2) + x (- 3 x - 2) - 2 (- 3 x - 2) = 0$

Этап 2.4.2.1.3.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $- 3 x - 2$ .

$x^{3} (x - 2) + (- 3 x - 2) (x - 2) = 0$

Этап 2.4.2.1.4

Вынесем множитель $x - 2$ из $x^{3} (x - 2) + (- 3 x - 2) (x - 2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1.4.1

Вынесем множитель $x - 2$ из $x^{3} (x - 2)$ .

$(x - 2) x^{3} + (- 3 x - 2) (x - 2) = 0$

Этап 2.4.2.1.4.2

Вынесем множитель $x - 2$ из $(- 3 x - 2) (x - 2)$ .

$(x - 2) x^{3} + (x - 2) (- 3 x - 2) = 0$

Этап 2.4.2.1.4.3

Вынесем множитель $x - 2$ из $(x - 2) x^{3} + (x - 2) (- 3 x - 2)$ .

$(x - 2) (x^{3} - 3 x - 2) = 0$

Этап 2.4.2.1.5

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1.5.1

Перепишем $x^{3} - 3 x - 2$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1.5.1.1

Разложим $x^{3} - 3 x - 2$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1.5.1.1.1

$p = \pm 1, \pm 2$

$q = \pm 1$

Этап 2.4.2.1.5.1.1.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 2$

Этап 2.4.2.1.5.1.1.3

Подставим $- 1$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $- 1$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1.5.1.1.3.1

Подставим $- 1$ в многочлен.

${(- 1)}^{3} - 3 \cdot - 1 - 2$

Этап 2.4.2.1.5.1.1.3.2

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$- 1 - 3 \cdot - 1 - 2$

Этап 2.4.2.1.5.1.1.3.3

Умножим $- 3$ на $- 1$ .

$- 1 + 3 - 2$

Этап 2.4.2.1.5.1.1.3.4

Добавим $- 1$ и $3$ .

$2 - 2$

Этап 2.4.2.1.5.1.1.3.5

Вычтем $2$ из $2$ .

$0$

Этап 2.4.2.1.5.1.1.4

$\frac{x^{3} - 3 x - 2}{x + 1}$

Этап 2.4.2.1.5.1.1.5

Разделим $x^{3} - 3 x - 2$ на $x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1.5.1.1.5.1

$x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x$

$2$

Этап 2.4.2.1.5.1.1.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$2$

Этап 2.4.2.1.5.1.1.5.3

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$2$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Этап 2.4.2.1.5.1.1.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x^{3} + x^{2}$ .

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Этап 2.4.2.1.5.1.1.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$

Этап 2.4.2.1.5.1.1.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$3 x$

Этап 2.4.2.1.5.1.1.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$3 x$

Этап 2.4.2.1.5.1.1.5.8

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$3 x$
					-	$x^{2}$	-	$x$

Этап 2.4.2.1.5.1.1.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- x^{2} - x$ .

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$3 x$
					+	$x^{2}$	+	$x$

Этап 2.4.2.1.5.1.1.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$3 x$
					+	$x^{2}$	+	$x$
							-	$2 x$

Этап 2.4.2.1.5.1.1.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$3 x$
					+	$x^{2}$	+	$x$
							-	$2 x$	-	$2$

Этап 2.4.2.1.5.1.1.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 2 x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$x^{2}$	-	$x$	-	$2$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$3 x$
					+	$x^{2}$	+	$x$
							-	$2 x$	-	$2$

Этап 2.4.2.1.5.1.1.5.13

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$	-	$x$	-	$2$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$3 x$
					+	$x^{2}$	+	$x$
							-	$2 x$	-	$2$
							-	$2 x$	-	$2$

Этап 2.4.2.1.5.1.1.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 2 x - 2$ .

				$x^{2}$	-	$x$	-	$2$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$3 x$
					+	$x^{2}$	+	$x$
							-	$2 x$	-	$2$
							+	$2 x$	+	$2$

Этап 2.4.2.1.5.1.1.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$	-	$x$	-	$2$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$3 x$
					+	$x^{2}$	+	$x$
							-	$2 x$	-	$2$
							+	$2 x$	+	$2$
										$0$

Этап 2.4.2.1.5.1.1.5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$x^{2} - x - 2$

Этап 2.4.2.1.5.1.1.6

Запишем $x^{3} - 3 x - 2$ в виде набора множителей.

$(x - 2) ((x + 1) (x^{2} - x - 2)) = 0$

Этап 2.4.2.1.5.1.2

Разложим $x^{2} - x - 2$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1.5.1.2.1

Разложим $x^{2} - x - 2$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1.5.1.2.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 2$ , а сумма — $- 1$ .

$- 2, 1$

Этап 2.4.2.1.5.1.2.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(x - 2) ((x + 1) ((x - 2) (x + 1))) = 0$

Этап 2.4.2.1.5.1.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$(x - 2) ((x + 1) (x - 2) (x + 1)) = 0$

Этап 2.4.2.1.5.2

Избавимся от ненужных скобок.

$(x - 2) (x + 1) (x - 2) (x + 1) = 0$

Этап 2.4.2.1.6

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1.6.1

Возведем $x - 2$ в степень $1$ .

$(x - 2) (x - 2) (x + 1) (x + 1) = 0$

Этап 2.4.2.1.6.2

Возведем $x - 2$ в степень $1$ .

$(x - 2) (x - 2) (x + 1) (x + 1) = 0$

Этап 2.4.2.1.6.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

${(x - 2)}^{1 + 1} (x + 1) (x + 1) = 0$

Этап 2.4.2.1.6.4

Добавим $1$ и $1$ .

${(x - 2)}^{2} (x + 1) (x + 1) = 0$

Этап 2.4.2.1.6.5

Возведем $x + 1$ в степень $1$ .

${(x - 2)}^{2} ((x + 1) (x + 1)) = 0$

Этап 2.4.2.1.6.6

Возведем $x + 1$ в степень $1$ .

${(x - 2)}^{2} ((x + 1) (x + 1)) = 0$

Этап 2.4.2.1.6.7

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

${(x - 2)}^{2} {(x + 1)}^{1 + 1} = 0$

Этап 2.4.2.1.6.8

Добавим $1$ и $1$ .

${(x - 2)}^{2} {(x + 1)}^{2} = 0$

Этап 2.4.2.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

${(x - 2)}^{2} = 0$

${(x + 1)}^{2} = 0$

Этап 2.4.2.3

Приравняем ${(x - 2)}^{2}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.3.1

Приравняем ${(x - 2)}^{2}$ к $0$ .

${(x - 2)}^{2} = 0$

Этап 2.4.2.3.2

Решим ${(x - 2)}^{2} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.3.2.1

Приравняем $x - 2$ к $0$ .

$x - 2 = 0$

Этап 2.4.2.3.2.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 2$

Этап 2.4.2.4

Приравняем ${(x + 1)}^{2}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.4.1

Приравняем ${(x + 1)}^{2}$ к $0$ .

${(x + 1)}^{2} = 0$

Этап 2.4.2.4.2

Решим ${(x + 1)}^{2} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.4.2.1

Приравняем $x + 1$ к $0$ .

$x + 1 = 0$

Этап 2.4.2.4.2.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x = - 1$

Этап 2.4.2.5

Окончательным решением являются все значения, при которых ${(x - 2)}^{2} {(x + 1)}^{2} = 0$ верно.

$x = 2, - 1$

Этап 2.5

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x + 1) (x^{4} - 2 x^{3} - 3 x^{2} + 4 x + 4) = 0$ верно.

$x = - 1, 2$

Этап 3