Основы мат. анализа Примеры

$r \sin (θ) = 4$

Этап 1

Так как $\sin (θ) = \frac{y}{r}$ , заменим $\sin (θ)$ на $\frac{y}{r}$ .

$r \frac{y}{r} = 4$

Этап 2

Умножим обе части на $r$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим обе части на $r$ .

$r (r \frac{y}{r}) = r \cdot 4$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим $r (r \frac{y}{r})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Умножим $r$ на $r$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Перенесем $r$ .

$r \cdot r \frac{y}{r} = r \cdot 4$

Этап 2.2.1.1.2

Умножим $r$ на $r$ .

$r^{2} \frac{y}{r} = r \cdot 4$

Этап 2.2.1.2

Сократим общий множитель $r$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.2.1

Вынесем множитель $r$ из $r^{2}$ .

$r \cdot r \frac{y}{r} = r \cdot 4$

Этап 2.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$r \cdot r \frac{y}{r} = r \cdot 4$

Этап 2.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$r y = r \cdot 4$

Этап 2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Перенесем $4$ влево от $r$ .

$r y = 4 r$

Этап 3

Так как $r^{2} = x^{2} + y^{2}$ , заменим $r^{2}$ на $x^{2} + y^{2}$ , и $r$ на $\sqrt{x^{2} + y^{2}}$ .

$\sqrt{x^{2} + y^{2}} y = 4 \sqrt{x^{2} + y^{2}}$

Этап 4

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Решим относительно $\sqrt{x^{2} + y^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Вычтем $4 \sqrt{x^{2} + y^{2}}$ из обеих частей уравнения.

$\sqrt{x^{2} + y^{2}} y - 4 \sqrt{x^{2} + y^{2}} = 0$

Этап 4.1.2

Вынесем множитель $\sqrt{x^{2} + y^{2}}$ из $\sqrt{x^{2} + y^{2}} y - 4 \sqrt{x^{2} + y^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Вынесем множитель $\sqrt{x^{2} + y^{2}}$ из $- 4 \sqrt{x^{2} + y^{2}}$ .

$\sqrt{x^{2} + y^{2}} y + \sqrt{x^{2} + y^{2}} \cdot - 4 = 0$

Этап 4.1.2.2

Вынесем множитель $\sqrt{x^{2} + y^{2}}$ из $\sqrt{x^{2} + y^{2}} y + \sqrt{x^{2} + y^{2}} \cdot - 4$ .

$\sqrt{x^{2} + y^{2}} (y - 4) = 0$

Этап 4.1.3

Разделим каждый член $\sqrt{x^{2} + y^{2}} (y - 4) = 0$ на $y - 4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Разделим каждый член $\sqrt{x^{2} + y^{2}} (y - 4) = 0$ на $y - 4$ .

$\frac{\sqrt{x^{2} + y^{2}} (y - 4)}{y - 4} = \frac{0}{y - 4}$

Этап 4.1.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.2.1

Сократим общий множитель $y - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\sqrt{x^{2} + y^{2}} (y - 4)}{y - 4} = \frac{0}{y - 4}$

Этап 4.1.3.2.1.2

Разделим $\sqrt{x^{2} + y^{2}}$ на $1$ .

$\sqrt{x^{2} + y^{2}} = \frac{0}{y - 4}$

Этап 4.1.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.3.1

Разделим $0$ на $y - 4$ .

$\sqrt{x^{2} + y^{2}} = 0$

Этап 4.2

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{x^{2} + y^{2}}}^{2} = 0^{2}$

Этап 4.3

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x^{2} + y^{2}}$ в виде ${(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Этап 4.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Упростим ${({(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Этап 4.3.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Этап 4.3.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(x^{2} + y^{2})}^{1} = 0^{2}$

Этап 4.3.2.1.2

Упростим.

$x^{2} + y^{2} = 0^{2}$

Этап 4.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$x^{2} + y^{2} = 0$

Этап 4.4

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Вычтем $x^{2}$ из обеих частей уравнения.

$y^{2} = - x^{2}$

Этап 4.4.2

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$y = \pm \sqrt{- x^{2}}$

Этап 4.4.3

Упростим $\pm \sqrt{- x^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.3.1

Изменим порядок $- 1$ и $x^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{x^{2} \cdot - 1}$

Этап 4.4.3.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = \pm x \sqrt{- 1}$

Этап 4.4.3.3

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$y = \pm x i$

Этап 4.4.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$y = x i$

Этап 4.4.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$y = - x i$

Этап 4.4.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$y = x i$

$y = - x i$

$y = x i$

$y = - x i$

$y = x i$

$y = - x i$

$y = x i$

$y = - x i$

Этап 5