Основы мат. анализа Примеры

$2 x^{5} - 13 x^{4} + 24 x^{3} - 34 x^{2} + 150 x - 225$

Этап 1

Приравняем $2 x^{5} - 13 x^{4} + 24 x^{3} - 34 x^{2} + 150 x - 225$ к $0$ .

$2 x^{5} - 13 x^{4} + 24 x^{3} - 34 x^{2} + 150 x - 225 = 0$

Этап 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Разложим $2 x^{5} - 13 x^{4} + 24 x^{3} - 34 x^{2} + 150 x - 225$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 225, \pm 3, \pm 75, \pm 5, \pm 45, \pm 9, \pm 25, \pm 15$

$q = \pm 1, \pm 2$

Этап 2.1.1.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 225, \pm 112.5, \pm 3, \pm 1.5, \pm 75, \pm 37.5, \pm 5, \pm 2.5, \pm 45, \pm 22.5, \pm 9, \pm 4.5, \pm 25, \pm 12.5, \pm 15, \pm 7.5$

Этап 2.1.1.3

Подставим $3$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $3$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.3.1

Подставим $3$ в многочлен.

$2 \cdot 3^{5} - 13 \cdot 3^{4} + 24 \cdot 3^{3} - 34 \cdot 3^{2} + 150 \cdot 3 - 225$

Этап 2.1.1.3.2

Возведем $3$ в степень $5$ .

$2 \cdot 243 - 13 \cdot 3^{4} + 24 \cdot 3^{3} - 34 \cdot 3^{2} + 150 \cdot 3 - 225$

Этап 2.1.1.3.3

Умножим $2$ на $243$ .

$486 - 13 \cdot 3^{4} + 24 \cdot 3^{3} - 34 \cdot 3^{2} + 150 \cdot 3 - 225$

Этап 2.1.1.3.4

Возведем $3$ в степень $4$ .

$486 - 13 \cdot 81 + 24 \cdot 3^{3} - 34 \cdot 3^{2} + 150 \cdot 3 - 225$

Этап 2.1.1.3.5

Умножим $- 13$ на $81$ .

$486 - 1053 + 24 \cdot 3^{3} - 34 \cdot 3^{2} + 150 \cdot 3 - 225$

Этап 2.1.1.3.6

Вычтем $1053$ из $486$ .

$- 567 + 24 \cdot 3^{3} - 34 \cdot 3^{2} + 150 \cdot 3 - 225$

Этап 2.1.1.3.7

Возведем $3$ в степень $3$ .

$- 567 + 24 \cdot 27 - 34 \cdot 3^{2} + 150 \cdot 3 - 225$

Этап 2.1.1.3.8

Умножим $24$ на $27$ .

$- 567 + 648 - 34 \cdot 3^{2} + 150 \cdot 3 - 225$

Этап 2.1.1.3.9

Добавим $- 567$ и $648$ .

$81 - 34 \cdot 3^{2} + 150 \cdot 3 - 225$

Этап 2.1.1.3.10

Возведем $3$ в степень $2$ .

$81 - 34 \cdot 9 + 150 \cdot 3 - 225$

Этап 2.1.1.3.11

Умножим $- 34$ на $9$ .

$81 - 306 + 150 \cdot 3 - 225$

Этап 2.1.1.3.12

Вычтем $306$ из $81$ .

$- 225 + 150 \cdot 3 - 225$

Этап 2.1.1.3.13

Умножим $150$ на $3$ .

$- 225 + 450 - 225$

Этап 2.1.1.3.14

Добавим $- 225$ и $450$ .

$225 - 225$

Этап 2.1.1.3.15

Вычтем $225$ из $225$ .

$0$

Этап 2.1.1.4

Поскольку $3$ — известный корень, разделим многочлен на $x - 3$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{2 x^{5} - 13 x^{4} + 24 x^{3} - 34 x^{2} + 150 x - 225}{x - 3}$

Этап 2.1.1.5

Разделим $2 x^{5} - 13 x^{4} + 24 x^{3} - 34 x^{2} + 150 x - 225$ на $x - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x$

$3$

$2 x^{5}$

$13 x^{4}$

$24 x^{3}$

$34 x^{2}$

$150 x$

$225$

Этап 2.1.1.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $2 x^{5}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

					$2 x^{4}$
	$x$	-	$3$		$2 x^{5}$	-	$13 x^{4}$	+	$24 x^{3}$	-	$34 x^{2}$	+	$150 x$	-	$225$

Этап 2.1.1.5.3

Умножим новое частное на делитель.

$2 x^{4}$

$x$

$3$

$2 x^{5}$

$13 x^{4}$

$24 x^{3}$

$34 x^{2}$

$150 x$

$225$

$2 x^{5}$

$6 x^{4}$

Этап 2.1.1.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $2 x^{5} - 6 x^{4}$ .

$2 x^{4}$

$x$

$3$

$2 x^{5}$

$13 x^{4}$

$24 x^{3}$

$34 x^{2}$

$150 x$

$225$

$2 x^{5}$

$6 x^{4}$

Этап 2.1.1.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$2 x^{4}$

$x$

$3$

$2 x^{5}$

$13 x^{4}$

$24 x^{3}$

$34 x^{2}$

$150 x$

$225$

$2 x^{5}$

$6 x^{4}$

$7 x^{4}$

Этап 2.1.1.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$2 x^{4}$

$x$

$3$

$2 x^{5}$

$13 x^{4}$

$24 x^{3}$

$34 x^{2}$

$150 x$

$225$

$2 x^{5}$

$6 x^{4}$

$7 x^{4}$

$24 x^{3}$

Этап 2.1.1.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 7 x^{4}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

$2 x^{4}$

$7 x^{3}$

$x$

$3$

$2 x^{5}$

$13 x^{4}$

$24 x^{3}$

$34 x^{2}$

$150 x$

$225$

$2 x^{5}$

$6 x^{4}$

$7 x^{4}$

$24 x^{3}$

Этап 2.1.1.5.8

Умножим новое частное на делитель.

$2 x^{4}$

$7 x^{3}$

$x$

$3$

$2 x^{5}$

$13 x^{4}$

$24 x^{3}$

$34 x^{2}$

$150 x$

$225$

$2 x^{5}$

$6 x^{4}$

$7 x^{4}$

$24 x^{3}$

$7 x^{4}$

$21 x^{3}$

Этап 2.1.1.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 7 x^{4} + 21 x^{3}$ .

$2 x^{4}$

$7 x^{3}$

$x$

$3$

$2 x^{5}$

$13 x^{4}$

$24 x^{3}$

$34 x^{2}$

$150 x$

$225$

$2 x^{5}$

$6 x^{4}$

$7 x^{4}$

$24 x^{3}$

$7 x^{4}$

$21 x^{3}$

Этап 2.1.1.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$2 x^{4}$

$7 x^{3}$

$x$

$3$

$2 x^{5}$

$13 x^{4}$

$24 x^{3}$

$34 x^{2}$

$150 x$

$225$

$2 x^{5}$

$6 x^{4}$

$7 x^{4}$

$24 x^{3}$

$7 x^{4}$

$21 x^{3}$

$3 x^{3}$

Этап 2.1.1.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$2 x^{4}$

$7 x^{3}$

$x$

$3$

$2 x^{5}$

$13 x^{4}$

$24 x^{3}$

$34 x^{2}$

$150 x$

$225$

$2 x^{5}$

$6 x^{4}$

$7 x^{4}$

$24 x^{3}$

$7 x^{4}$

$21 x^{3}$

$3 x^{3}$

$34 x^{2}$

Этап 2.1.1.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $3 x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

$2 x^{4}$

$7 x^{3}$

$3 x^{2}$

$x$

$3$

$2 x^{5}$

$13 x^{4}$

$24 x^{3}$

$34 x^{2}$

$150 x$

$225$

$2 x^{5}$

$6 x^{4}$

$7 x^{4}$

$24 x^{3}$

$7 x^{4}$

$21 x^{3}$

$3 x^{3}$

$34 x^{2}$

Этап 2.1.1.5.13

Умножим новое частное на делитель.

$2 x^{4}$

$7 x^{3}$

$3 x^{2}$

$x$

$3$

$2 x^{5}$

$13 x^{4}$

$24 x^{3}$

$34 x^{2}$

$150 x$

$225$

$2 x^{5}$

$6 x^{4}$

$7 x^{4}$

$24 x^{3}$

$7 x^{4}$

$21 x^{3}$

$3 x^{3}$

$34 x^{2}$

$3 x^{3}$

$9 x^{2}$

Этап 2.1.1.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $3 x^{3} - 9 x^{2}$ .

$2 x^{4}$

$7 x^{3}$

$3 x^{2}$

$x$

$3$

$2 x^{5}$

$13 x^{4}$

$24 x^{3}$

$34 x^{2}$

$150 x$

$225$

$2 x^{5}$

$6 x^{4}$

$7 x^{4}$

$24 x^{3}$

$7 x^{4}$

$21 x^{3}$

$3 x^{3}$

$34 x^{2}$

$3 x^{3}$

$9 x^{2}$

Этап 2.1.1.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$2 x^{4}$

$7 x^{3}$

$3 x^{2}$

$x$

$3$

$2 x^{5}$

$13 x^{4}$

$24 x^{3}$

$34 x^{2}$

$150 x$

$225$

$2 x^{5}$

$6 x^{4}$

$7 x^{4}$

$24 x^{3}$

$7 x^{4}$

$21 x^{3}$

$3 x^{3}$

$34 x^{2}$

$3 x^{3}$

$9 x^{2}$

$25 x^{2}$

Этап 2.1.1.5.16

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$2 x^{4}$

$7 x^{3}$

$3 x^{2}$

$x$

$3$

$2 x^{5}$

$13 x^{4}$

$24 x^{3}$

$34 x^{2}$

$150 x$

$225$

$2 x^{5}$

$6 x^{4}$

$7 x^{4}$

$24 x^{3}$

$7 x^{4}$

$21 x^{3}$

$3 x^{3}$

$34 x^{2}$

$3 x^{3}$

$9 x^{2}$

$25 x^{2}$

$150 x$

Этап 2.1.1.5.17

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 25 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

$2 x^{4}$

$7 x^{3}$

$3 x^{2}$

$25 x$

$x$

$3$

$2 x^{5}$

$13 x^{4}$

$24 x^{3}$

$34 x^{2}$

$150 x$

$225$

$2 x^{5}$

$6 x^{4}$

$7 x^{4}$

$24 x^{3}$

$7 x^{4}$

$21 x^{3}$

$3 x^{3}$

$34 x^{2}$

$3 x^{3}$

$9 x^{2}$

$25 x^{2}$

$150 x$

Этап 2.1.1.5.18

Умножим новое частное на делитель.

$2 x^{4}$

$7 x^{3}$

$3 x^{2}$

$25 x$

$x$

$3$

$2 x^{5}$

$13 x^{4}$

$24 x^{3}$

$34 x^{2}$

$150 x$

$225$

$2 x^{5}$

$6 x^{4}$

$7 x^{4}$

$24 x^{3}$

$7 x^{4}$

$21 x^{3}$

$3 x^{3}$

$34 x^{2}$

$3 x^{3}$

$9 x^{2}$

$25 x^{2}$

$150 x$

$25 x^{2}$

$75 x$

Этап 2.1.1.5.19

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 25 x^{2} + 75 x$ .

$2 x^{4}$

$7 x^{3}$

$3 x^{2}$

$25 x$

$x$

$3$

$2 x^{5}$

$13 x^{4}$

$24 x^{3}$

$34 x^{2}$

$150 x$

$225$

$2 x^{5}$

$6 x^{4}$

$7 x^{4}$

$24 x^{3}$

$7 x^{4}$

$21 x^{3}$

$3 x^{3}$

$34 x^{2}$

$3 x^{3}$

$9 x^{2}$

$25 x^{2}$

$150 x$

$25 x^{2}$

$75 x$

Этап 2.1.1.5.20

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$2 x^{4}$

$7 x^{3}$

$3 x^{2}$

$25 x$

$x$

$3$

$2 x^{5}$

$13 x^{4}$

$24 x^{3}$

$34 x^{2}$

$150 x$

$225$

$2 x^{5}$

$6 x^{4}$

$7 x^{4}$

$24 x^{3}$

$7 x^{4}$

$21 x^{3}$

$3 x^{3}$

$34 x^{2}$

$3 x^{3}$

$9 x^{2}$

$25 x^{2}$

$150 x$

$25 x^{2}$

$75 x$

Этап 2.1.1.5.21

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$2 x^{4}$

$7 x^{3}$

$3 x^{2}$

$25 x$

$x$

$3$

$2 x^{5}$

$13 x^{4}$

$24 x^{3}$

$34 x^{2}$

$150 x$

$225$

$2 x^{5}$

$6 x^{4}$

$7 x^{4}$

$24 x^{3}$

$7 x^{4}$

$21 x^{3}$

$3 x^{3}$

$34 x^{2}$

$3 x^{3}$

$9 x^{2}$

$25 x^{2}$

$150 x$

$25 x^{2}$

$75 x$

$225$

Этап 2.1.1.5.22

Разделим член с максимальной степенью в делимом $75 x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

$2 x^{4}$

$7 x^{3}$

$3 x^{2}$

$25 x$

$75$

$x$

$3$

$2 x^{5}$

$13 x^{4}$

$24 x^{3}$

$34 x^{2}$

$150 x$

$225$

$2 x^{5}$

$6 x^{4}$

$7 x^{4}$

$24 x^{3}$

$7 x^{4}$

$21 x^{3}$

$3 x^{3}$

$34 x^{2}$

$3 x^{3}$

$9 x^{2}$

$25 x^{2}$

$150 x$

$25 x^{2}$

$75 x$

$225$

Этап 2.1.1.5.23

Умножим новое частное на делитель.

$2 x^{4}$

$7 x^{3}$

$3 x^{2}$

$25 x$

$75$

$x$

$3$

$2 x^{5}$

$13 x^{4}$

$24 x^{3}$

$34 x^{2}$

$150 x$

$225$

$2 x^{5}$

$6 x^{4}$

$7 x^{4}$

$24 x^{3}$

$7 x^{4}$

$21 x^{3}$

$3 x^{3}$

$34 x^{2}$

$3 x^{3}$

$9 x^{2}$

$25 x^{2}$

$150 x$

$25 x^{2}$

$75 x$

$225$

$75 x$

$225$

Этап 2.1.1.5.24

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $75 x - 225$ .

$2 x^{4}$

$7 x^{3}$

$3 x^{2}$

$25 x$

$75$

$x$

$3$

$2 x^{5}$

$13 x^{4}$

$24 x^{3}$

$34 x^{2}$

$150 x$

$225$

$2 x^{5}$

$6 x^{4}$

$7 x^{4}$

$24 x^{3}$

$7 x^{4}$

$21 x^{3}$

$3 x^{3}$

$34 x^{2}$

$3 x^{3}$

$9 x^{2}$

$25 x^{2}$

$150 x$

$25 x^{2}$

$75 x$

$225$

$75 x$

$225$

Этап 2.1.1.5.25

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$2 x^{4}$

$7 x^{3}$

$3 x^{2}$

$25 x$

$75$

$x$

$3$

$2 x^{5}$

$13 x^{4}$

$24 x^{3}$

$34 x^{2}$

$150 x$

$225$

$2 x^{5}$

$6 x^{4}$

$7 x^{4}$

$24 x^{3}$

$7 x^{4}$

$21 x^{3}$

$3 x^{3}$

$34 x^{2}$

$3 x^{3}$

$9 x^{2}$

$25 x^{2}$

$150 x$

$25 x^{2}$

$75 x$

$225$

$75 x$

$225$

$0$

Этап 2.1.1.5.26

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$2 x^{4} - 7 x^{3} + 3 x^{2} - 25 x + 75$

Этап 2.1.1.6

Запишем $2 x^{5} - 13 x^{4} + 24 x^{3} - 34 x^{2} + 150 x - 225$ в виде набора множителей.

$(x - 3) (2 x^{4} - 7 x^{3} + 3 x^{2} - 25 x + 75) = 0$

Этап 2.1.2

Перегруппируем члены.

$(x - 3) (- 25 x + 75 + 2 x^{4} - 7 x^{3} + 3 x^{2}) = 0$

Этап 2.1.3

Вынесем множитель $- 25$ из $- 25 x + 75$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Вынесем множитель $- 25$ из $- 25 x$ .

$(x - 3) (- 25 x + 75 + 2 x^{4} - 7 x^{3} + 3 x^{2}) = 0$

Этап 2.1.3.2

Вынесем множитель $- 25$ из $75$ .

$(x - 3) (- 25 x - 25 \cdot - 3 + 2 x^{4} - 7 x^{3} + 3 x^{2}) = 0$

Этап 2.1.3.3

Вынесем множитель $- 25$ из $- 25 (x) - 25 (- 3)$ .

$(x - 3) (- 25 (x - 3) + 2 x^{4} - 7 x^{3} + 3 x^{2}) = 0$

Этап 2.1.4

Вынесем множитель $x^{2}$ из $2 x^{4} - 7 x^{3} + 3 x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $2 x^{4}$ .

$(x - 3) (- 25 (x - 3) + x^{2} (2 x^{2}) - 7 x^{3} + 3 x^{2}) = 0$

Этап 2.1.4.2

Вынесем множитель $x^{2}$ из $- 7 x^{3}$ .

$(x - 3) (- 25 (x - 3) + x^{2} (2 x^{2}) + x^{2} (- 7 x) + 3 x^{2}) = 0$

Этап 2.1.4.3

Вынесем множитель $x^{2}$ из $3 x^{2}$ .

$(x - 3) (- 25 (x - 3) + x^{2} (2 x^{2}) + x^{2} (- 7 x) + x^{2} \cdot 3) = 0$

Этап 2.1.4.4

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{2} (2 x^{2}) + x^{2} (- 7 x)$ .

$(x - 3) (- 25 (x - 3) + x^{2} (2 x^{2} - 7 x) + x^{2} \cdot 3) = 0$

Этап 2.1.4.5

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{2} (2 x^{2} - 7 x) + x^{2} \cdot 3$ .

$(x - 3) (- 25 (x - 3) + x^{2} (2 x^{2} - 7 x + 3)) = 0$

Этап 2.1.5

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.5.1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.5.1.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 2 \cdot 3 = 6$ , а сумма — $b = - 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.5.1.1.1

Вынесем множитель $- 7$ из $- 7 x$ .

$(x - 3) (- 25 (x - 3) + x^{2} (2 x^{2} - 7 x + 3)) = 0$

Этап 2.1.5.1.1.2

Запишем $- 7$ как $- 1$ плюс $- 6$

$(x - 3) (- 25 (x - 3) + x^{2} (2 x^{2} + (- 1 - 6) x + 3)) = 0$

Этап 2.1.5.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$(x - 3) (- 25 (x - 3) + x^{2} (2 x^{2} - 1 x - 6 x + 3)) = 0$

Этап 2.1.5.1.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.5.1.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(x - 3) (- 25 (x - 3) + x^{2} ((2 x^{2} - 1 x) - 6 x + 3)) = 0$

Этап 2.1.5.1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$(x - 3) (- 25 (x - 3) + x^{2} (x (2 x - 1) - 3 (2 x - 1))) = 0$

Этап 2.1.5.1.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $2 x - 1$ .

$(x - 3) (- 25 (x - 3) + x^{2} ((2 x - 1) (x - 3))) = 0$

Этап 2.1.5.2

Избавимся от ненужных скобок.

$(x - 3) (- 25 (x - 3) + x^{2} (2 x - 1) (x - 3)) = 0$

Этап 2.1.6

Вынесем множитель $x - 3$ из $- 25 (x - 3) + x^{2} (2 x - 1) (x - 3)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.6.1

Вынесем множитель $x - 3$ из $- 25 (x - 3)$ .

$(x - 3) ((x - 3) \cdot - 25 + x^{2} (2 x - 1) (x - 3)) = 0$

Этап 2.1.6.2

Вынесем множитель $x - 3$ из $x^{2} (2 x - 1) (x - 3)$ .

$(x - 3) ((x - 3) \cdot - 25 + (x - 3) (x^{2} (2 x - 1))) = 0$

Этап 2.1.6.3

Вынесем множитель $x - 3$ из $(x - 3) \cdot - 25 + (x - 3) (x^{2} (2 x - 1))$ .

$(x - 3) ((x - 3) (- 25 + x^{2} (2 x - 1))) = 0$

Этап 2.1.7

Применим свойство дистрибутивности.

$(x - 3) ((x - 3) (- 25 + x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot - 1)) = 0$

Этап 2.1.8

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$(x - 3) ((x - 3) (- 25 + 2 x^{2} x + x^{2} \cdot - 1)) = 0$

Этап 2.1.9

Перенесем $- 1$ влево от $x^{2}$ .

$(x - 3) ((x - 3) (- 25 + 2 x^{2} x - 1 \cdot x^{2})) = 0$

Этап 2.1.10

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.10.1

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.10.1.1

Перенесем $x$ .

$(x - 3) ((x - 3) (- 25 + 2 (x \cdot x^{2}) - 1 \cdot x^{2})) = 0$

Этап 2.1.10.1.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.10.1.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$(x - 3) ((x - 3) (- 25 + 2 (x \cdot x^{2}) - 1 \cdot x^{2})) = 0$

Этап 2.1.10.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$(x - 3) ((x - 3) (- 25 + 2 x^{1 + 2} - 1 \cdot x^{2})) = 0$

Этап 2.1.10.1.3

Добавим $1$ и $2$ .

$(x - 3) ((x - 3) (- 25 + 2 x^{3} - 1 \cdot x^{2})) = 0$

$(x - 3) ((x - 3) (- 25 + 2 x^{3} - 1 x^{2})) = 0$

Этап 2.1.10.2

Перепишем $- 1 x^{2}$ в виде $- x^{2}$ .

$(x - 3) ((x - 3) (- 25 + 2 x^{3} - x^{2})) = 0$

Этап 2.1.11

Изменим порядок членов.

$(x - 3) ((x - 3) (2 x^{3} - x^{2} - 25)) = 0$

Этап 2.1.12

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.12.1

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.12.1.1

Разложим $2 x^{3} - x^{2} - 25$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.12.1.1.1

$p = \pm 1, \pm 25, \pm 5$

$q = \pm 1, \pm 2$

Этап 2.1.12.1.1.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 25, \pm 12.5, \pm 5, \pm 2.5$

Этап 2.1.12.1.1.3

Подставим $2.5$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $2.5$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.12.1.1.3.1

Подставим $2.5$ в многочлен.

$2 \cdot {2.5}^{3} - {2.5}^{2} - 25$

Этап 2.1.12.1.1.3.2

Возведем $2.5$ в степень $3$ .

$2 \cdot 15.625 - {2.5}^{2} - 25$

Этап 2.1.12.1.1.3.3

Умножим $2$ на $15.625$ .

$31.25 - {2.5}^{2} - 25$

Этап 2.1.12.1.1.3.4

Возведем $2.5$ в степень $2$ .

$31.25 - 1 \cdot 6.25 - 25$

Этап 2.1.12.1.1.3.5

Умножим $- 1$ на $6.25$ .

$31.25 - 6.25 - 25$

Этап 2.1.12.1.1.3.6

Вычтем $6.25$ из $31.25$ .

$25 - 25$

Этап 2.1.12.1.1.3.7

Вычтем $25$ из $25$ .

$0$

Этап 2.1.12.1.1.4

Поскольку $2.5$ — известный корень, разделим многочлен на $2 x - 5$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{2 x^{3} - x^{2} - 25}{2 x - 5}$

Этап 2.1.12.1.1.5

Разделим $2 x^{3} - x^{2} - 25$ на $2 x - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.12.1.1.5.1

$2 x$

$5$

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$25$

Этап 2.1.12.1.1.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $2 x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $2 x$ .

					$x^{2}$
	$2 x$	-	$5$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	-	$25$

Этап 2.1.12.1.1.5.3

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$
$2 x$	-	$5$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	-	$25$
			+	$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$

Этап 2.1.12.1.1.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $2 x^{3} - 5 x^{2}$ .

				$x^{2}$
$2 x$	-	$5$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	-	$25$
			-	$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$

Этап 2.1.12.1.1.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$
$2 x$	-	$5$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	-	$25$
			-	$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$

Этап 2.1.12.1.1.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$
$2 x$	-	$5$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	-	$25$
			-	$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	+	$0 x$

Этап 2.1.12.1.1.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $4 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $2 x$ .

				$x^{2}$	+	$2 x$
$2 x$	-	$5$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	-	$25$
			-	$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	+	$0 x$

Этап 2.1.12.1.1.5.8

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$	+	$2 x$
$2 x$	-	$5$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	-	$25$
			-	$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$10 x$

Этап 2.1.12.1.1.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $4 x^{2} - 10 x$ .

				$x^{2}$	+	$2 x$
$2 x$	-	$5$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	-	$25$
			-	$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$10 x$

Этап 2.1.12.1.1.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$	+	$2 x$
$2 x$	-	$5$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	-	$25$
			-	$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$10 x$
							+	$10 x$

Этап 2.1.12.1.1.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$	+	$2 x$
$2 x$	-	$5$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	-	$25$
			-	$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$10 x$
							+	$10 x$	-	$25$

Этап 2.1.12.1.1.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $10 x$ на член с максимальной степенью в делителе $2 x$ .

				$x^{2}$	+	$2 x$	+	$5$
$2 x$	-	$5$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	-	$25$
			-	$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$10 x$
							+	$10 x$	-	$25$

Этап 2.1.12.1.1.5.13

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$	+	$2 x$	+	$5$
$2 x$	-	$5$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	-	$25$
			-	$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$10 x$
							+	$10 x$	-	$25$
							+	$10 x$	-	$25$

Этап 2.1.12.1.1.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $10 x - 25$ .

				$x^{2}$	+	$2 x$	+	$5$
$2 x$	-	$5$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	-	$25$
			-	$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$10 x$
							+	$10 x$	-	$25$
							-	$10 x$	+	$25$

Этап 2.1.12.1.1.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$	+	$2 x$	+	$5$
$2 x$	-	$5$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	-	$25$
			-	$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$10 x$
							+	$10 x$	-	$25$
							-	$10 x$	+	$25$
										$0$

Этап 2.1.12.1.1.5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$x^{2} + 2 x + 5$

Этап 2.1.12.1.1.6

Запишем $2 x^{3} - x^{2} - 25$ в виде набора множителей.

$(x - 3) ((x - 3) ((2 x - 5) (x^{2} + 2 x + 5))) = 0$

Этап 2.1.12.1.2

Избавимся от ненужных скобок.

$(x - 3) ((x - 3) (2 x - 5) (x^{2} + 2 x + 5)) = 0$

Этап 2.1.12.2

Избавимся от ненужных скобок.

$(x - 3) (x - 3) (2 x - 5) (x^{2} + 2 x + 5) = 0$

Этап 2.1.13

Объединим подобные множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.13.1

Возведем $x - 3$ в степень $1$ .

$(x - 3) (x - 3) (2 x - 5) (x^{2} + 2 x + 5) = 0$

Этап 2.1.13.2

Возведем $x - 3$ в степень $1$ .

$(x - 3) (x - 3) (2 x - 5) (x^{2} + 2 x + 5) = 0$

Этап 2.1.13.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

${(x - 3)}^{1 + 1} (2 x - 5) (x^{2} + 2 x + 5) = 0$

Этап 2.1.13.4

Добавим $1$ и $1$ .

${(x - 3)}^{2} (2 x - 5) (x^{2} + 2 x + 5) = 0$

Этап 2.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

${(x - 3)}^{2} = 0$

$2 x - 5 = 0$

$x^{2} + 2 x + 5 = 0$

Этап 2.3

Приравняем ${(x - 3)}^{2}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Приравняем ${(x - 3)}^{2}$ к $0$ .

${(x - 3)}^{2} = 0$

Этап 2.3.2

Решим ${(x - 3)}^{2} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Приравняем $x - 3$ к $0$ .

$x - 3 = 0$

Этап 2.3.2.2

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$x = 3$

Этап 2.4

Приравняем $2 x - 5$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Приравняем $2 x - 5$ к $0$ .

$2 x - 5 = 0$

Этап 2.4.2

Решим $2 x - 5 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Добавим $5$ к обеим частям уравнения.

$2 x = 5$

Этап 2.4.2.2

Разделим каждый член $2 x = 5$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.2.1

Разделим каждый член $2 x = 5$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{5}{2}$

Этап 2.4.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{5}{2}$

Этап 2.4.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{5}{2}$

Этап 2.5

Приравняем $x^{2} + 2 x + 5$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Приравняем $x^{2} + 2 x + 5$ к $0$ .

$x^{2} + 2 x + 5 = 0$

Этап 2.5.2

Решим $x^{2} + 2 x + 5 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 2.5.2.2

Подставим значения $a = 1$ , $b = 2$ и $c = 5$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 5)}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.3.1.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.2.3.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.3.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.2.3.1.2.2

Умножим $- 4$ на $5$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 20}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.2.3.1.3

Вычтем $20$ из $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 16}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.2.3.1.4

Перепишем $- 16$ в виде $- 1 (16)$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.2.3.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (16)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.2.3.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.2.3.1.7

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4^{2}}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.2.3.1.8

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot 4}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.2.3.1.9

Перенесем $4$ влево от $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm 4 i}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.2.3.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 4 i}{2}$

Этап 2.5.2.3.3

Упростим $\frac{- 2 \pm 4 i}{2}$ .

$x = - 1 \pm 2 i$

Этап 2.5.2.4

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = - 1 + 2 i, - 1 - 2 i$

Этап 2.6

Окончательным решением являются все значения, при которых ${(x - 3)}^{2} (2 x - 5) (x^{2} + 2 x + 5) = 0$ верно.

$x = 3, \frac{5}{2}, - 1 + 2 i, - 1 - 2 i$

Этап 3