Основы мат. анализа Примеры

$x^{4} - 3 x^{3} - 27 x + 81$

Этап 1

Приравняем $x^{4} - 3 x^{3} - 27 x + 81$ к $0$ .

$x^{4} - 3 x^{3} - 27 x + 81 = 0$

Этап 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(x^{4} - 3 x^{3}) - 27 x + 81 = 0$

Этап 2.1.1.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$x^{3} (x - 3) - 27 (x - 3) = 0$

Этап 2.1.2

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $x - 3$ .

$(x - 3) (x^{3} - 27) = 0$

Этап 2.1.3

Перепишем $27$ в виде $3^{3}$ .

$(x - 3) (x^{3} - 3^{3}) = 0$

Этап 2.1.4

Поскольку оба члена являются полными кубами, выполним разложение на множители, используя формулу разности кубов, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , где $a = x$ и $b = 3$ .

$(x - 3) ((x - 3) (x^{2} + x \cdot 3 + 3^{2})) = 0$

Этап 2.1.5

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.5.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.5.1.1

Перенесем $3$ влево от $x$ .

$(x - 3) ((x - 3) (x^{2} + 3 x + 3^{2})) = 0$

Этап 2.1.5.1.2

Возведем $3$ в степень $2$ .

$(x - 3) ((x - 3) (x^{2} + 3 x + 9)) = 0$

Этап 2.1.5.2

Избавимся от ненужных скобок.

$(x - 3) (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) = 0$

Этап 2.1.6

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.6.1

Возведем $x - 3$ в степень $1$ .

$(x - 3) (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) = 0$

Этап 2.1.6.2

Возведем $x - 3$ в степень $1$ .

$(x - 3) (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) = 0$

Этап 2.1.6.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

${(x - 3)}^{1 + 1} (x^{2} + 3 x + 9) = 0$

Этап 2.1.6.4

Добавим $1$ и $1$ .

${(x - 3)}^{2} (x^{2} + 3 x + 9) = 0$

Этап 2.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

${(x - 3)}^{2} = 0$

$x^{2} + 3 x + 9 = 0$

Этап 2.3

Приравняем ${(x - 3)}^{2}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Приравняем ${(x - 3)}^{2}$ к $0$ .

${(x - 3)}^{2} = 0$

Этап 2.3.2

Решим ${(x - 3)}^{2} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Приравняем $x - 3$ к $0$ .

$x - 3 = 0$

Этап 2.3.2.2

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$x = 3$

Этап 2.4

Приравняем $x^{2} + 3 x + 9$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Приравняем $x^{2} + 3 x + 9$ к $0$ .

$x^{2} + 3 x + 9 = 0$

Этап 2.4.2

Решим $x^{2} + 3 x + 9 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 2.4.2.2

Подставим значения $a = 1$ , $b = 3$ и $c = 9$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 9)}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.3.1.1

Возведем $3$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.2.3.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.3.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.2.3.1.2.2

Умножим $- 4$ на $9$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 36}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.2.3.1.3

Вычтем $36$ из $9$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 27}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.2.3.1.4

Перепишем $- 27$ в виде $- 1 (27)$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 27}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.2.3.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (27)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.2.3.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.2.3.1.7

Перепишем $27$ в виде $3^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.3.1.7.1

Вынесем множитель $9$ из $27$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{9 (3)}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.2.3.1.7.2

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.2.3.1.8

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot (3 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.2.3.1.9

Перенесем $3$ влево от $i$ .

$x = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.2.3.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{2}$

Этап 2.4.2.4

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = - \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{2}, - \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{2}$

Этап 2.5

Окончательным решением являются все значения, при которых ${(x - 3)}^{2} (x^{2} + 3 x + 9) = 0$ верно.

$x = 3, - \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{2}, - \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{2}$

Этап 3