Основы мат. анализа Примеры

$\cos (2 θ - \frac{π}{2}) = 1$

Этап 1

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $θ$ из косинуса.

$2 θ - \frac{π}{2} = \arccos (1)$

Этап 2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Точное значение $\arccos (1)$ : $0$ .

$2 θ - \frac{π}{2} = 0$

Этап 3

Добавим $\frac{π}{2}$ к обеим частям уравнения.

$2 θ = \frac{π}{2}$

Этап 4

Разделим каждый член $2 θ = \frac{π}{2}$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Разделим каждый член $2 θ = \frac{π}{2}$ на $2$ .

$\frac{2 θ}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Этап 4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 θ}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Этап 4.2.1.2

Разделим $θ$ на $1$ .

$θ = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Этап 4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$θ = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Этап 4.3.2

Умножим $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Умножим $\frac{π}{2}$ на $\frac{1}{2}$ .

$θ = \frac{π}{2 \cdot 2}$

Этап 4.3.2.2

Умножим $2$ на $2$ .

$θ = \frac{π}{4}$

Этап 5

Функция косинуса положительна в первом и четвертом квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$2 θ - \frac{π}{2} = 2 π - 0$

Этап 6

Решим относительно $θ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Вычтем $0$ из $2 π$ .

$2 θ - \frac{π}{2} = 2 π$

Этап 6.2

Перенесем все члены без $θ$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Добавим $\frac{π}{2}$ к обеим частям уравнения.

$2 θ = 2 π + \frac{π}{2}$

Этап 6.2.2

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$2 θ = 2 π \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{2}$

Этап 6.2.3

Объединим $2 π$ и $\frac{2}{2}$ .

$2 θ = \frac{2 π \cdot 2}{2} + \frac{π}{2}$

Этап 6.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$2 θ = \frac{2 π \cdot 2 + π}{2}$

Этап 6.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.5.1

Умножим $2$ на $2$ .

$2 θ = \frac{4 π + π}{2}$

Этап 6.2.5.2

Добавим $4 π$ и $π$ .

$2 θ = \frac{5 π}{2}$

Этап 6.3

Разделим каждый член $2 θ = \frac{5 π}{2}$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Разделим каждый член $2 θ = \frac{5 π}{2}$ на $2$ .

$\frac{2 θ}{2} = \frac{\frac{5 π}{2}}{2}$

Этап 6.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 θ}{2} = \frac{\frac{5 π}{2}}{2}$

Этап 6.3.2.1.2

Разделим $θ$ на $1$ .

$θ = \frac{\frac{5 π}{2}}{2}$

Этап 6.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$θ = \frac{5 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Этап 6.3.3.2

Умножим $\frac{5 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.2.1

Умножим $\frac{5 π}{2}$ на $\frac{1}{2}$ .

$θ = \frac{5 π}{2 \cdot 2}$

Этап 6.3.3.2.2

Умножим $2$ на $2$ .

$θ = \frac{5 π}{4}$

Этап 7

Найдем период $\cos (2 θ - \frac{π}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 7.2

Заменим $b$ на $2$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Этап 7.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $2$ равно $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Этап 7.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 π}{2}$

Этап 7.4.2

Разделим $π$ на $1$ .

$π$

Этап 8

Период функции $\cos (2 θ - \frac{π}{2})$ равен $π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $π$ рад. в обоих направлениях.

$θ = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 9

Объединим ответы.

$θ = \frac{π}{4} + π n$ , для любого целого $n$