Основы мат. анализа Примеры

$y = - \cos (\frac{1}{2} x + \frac{π}{5})$

Этап 1

Найдем точки пересечения с осью x.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы найти точки пересечения с осью x, подставим $0$ вместо $y$ и найдем решение для $x$ .

$0 = - \cos (\frac{1}{2} x + \frac{π}{5})$

Этап 1.2

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Перепишем уравнение в виде $- \cos (\frac{1}{2} x + \frac{π}{5}) = 0$ .

$- \cos (\frac{1}{2} x + \frac{π}{5}) = 0$

Этап 1.2.2

Разделим каждый член $- \cos (\frac{1}{2} x + \frac{π}{5}) = 0$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Разделим каждый член $- \cos (\frac{1}{2} x + \frac{π}{5}) = 0$ на $- 1$ .

$\frac{- \cos (\frac{1}{2} x + \frac{π}{5})}{- 1} = \frac{0}{- 1}$

Этап 1.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{\cos (\frac{1}{2} x + \frac{π}{5})}{1} = \frac{0}{- 1}$

Этап 1.2.2.2.2

Разделим $\cos (\frac{1}{2} x + \frac{π}{5})$ на $1$ .

$\cos (\frac{1}{2} x + \frac{π}{5}) = \frac{0}{- 1}$

Этап 1.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.3.1

Разделим $0$ на $- 1$ .

$\cos (\frac{1}{2} x + \frac{π}{5}) = 0$

Этап 1.2.3

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из косинуса.

$\frac{1}{2} x + \frac{π}{5} = \arccos (0)$

Этап 1.2.4

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x$ .

$\frac{x}{2} + \frac{π}{5} = \arccos (0)$

Этап 1.2.5

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1

Точное значение $\arccos (0)$ : $\frac{π}{2}$ .

$\frac{x}{2} + \frac{π}{5} = \frac{π}{2}$

Этап 1.2.6

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1

Вычтем $\frac{π}{5}$ из обеих частей уравнения.

$\frac{x}{2} = \frac{π}{2} - \frac{π}{5}$

Этап 1.2.6.2

Чтобы записать $\frac{π}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{5}{5}$ .

$\frac{x}{2} = \frac{π}{2} \cdot \frac{5}{5} - \frac{π}{5}$

Этап 1.2.6.3

Чтобы записать $- \frac{π}{5}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x}{2} = \frac{π}{2} \cdot \frac{5}{5} - \frac{π}{5} \cdot \frac{2}{2}$

Этап 1.2.6.4

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $10$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.4.1

Умножим $\frac{π}{2}$ на $\frac{5}{5}$ .

$\frac{x}{2} = \frac{π \cdot 5}{2 \cdot 5} - \frac{π}{5} \cdot \frac{2}{2}$

Этап 1.2.6.4.2

Умножим $2$ на $5$ .

$\frac{x}{2} = \frac{π \cdot 5}{10} - \frac{π}{5} \cdot \frac{2}{2}$

Этап 1.2.6.4.3

Умножим $\frac{π}{5}$ на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x}{2} = \frac{π \cdot 5}{10} - \frac{π \cdot 2}{5 \cdot 2}$

Этап 1.2.6.4.4

Умножим $5$ на $2$ .

$\frac{x}{2} = \frac{π \cdot 5}{10} - \frac{π \cdot 2}{10}$

Этап 1.2.6.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{x}{2} = \frac{π \cdot 5 - π \cdot 2}{10}$

Этап 1.2.6.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.6.1

Перенесем $5$ влево от $π$ .

$\frac{x}{2} = \frac{5 \cdot π - π \cdot 2}{10}$

Этап 1.2.6.6.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{x}{2} = \frac{5 π - 2 π}{10}$

Этап 1.2.6.6.3

Вычтем $2 π$ из $5 π$ .

$\frac{x}{2} = \frac{3 π}{10}$

Этап 1.2.7

Умножим обе части уравнения на $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{3 π}{10}$

Этап 1.2.8

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.8.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.8.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.8.1.1.1

Сократим общий множитель.

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{3 π}{10}$

Этап 1.2.8.1.1.2

Перепишем это выражение.

$x = 2 \frac{3 π}{10}$

Этап 1.2.8.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.8.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.8.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $10$ .

$x = 2 \frac{3 π}{2 (5)}$

Этап 1.2.8.2.1.2

Сократим общий множитель.

$x = 2 \frac{3 π}{2 \cdot 5}$

Этап 1.2.8.2.1.3

Перепишем это выражение.

$x = \frac{3 π}{5}$

Этап 1.2.9

Функция косинуса положительна в первом и четвертом квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$\frac{x}{2} + \frac{π}{5} = 2 π - \frac{π}{2}$

Этап 1.2.10

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.10.1

Упростим $2 π - \frac{π}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.10.1.1

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x}{2} + \frac{π}{5} = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 1.2.10.1.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.10.1.2.1

Объединим $2 π$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x}{2} + \frac{π}{5} = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 1.2.10.1.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{x}{2} + \frac{π}{5} = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Этап 1.2.10.1.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.10.1.3.1

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{x}{2} + \frac{π}{5} = \frac{4 π - π}{2}$

Этап 1.2.10.1.3.2

Вычтем $π$ из $4 π$ .

$\frac{x}{2} + \frac{π}{5} = \frac{3 π}{2}$

Этап 1.2.10.2

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.10.2.1

Вычтем $\frac{π}{5}$ из обеих частей уравнения.

$\frac{x}{2} = \frac{3 π}{2} - \frac{π}{5}$

Этап 1.2.10.2.2

Чтобы записать $\frac{3 π}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{5}{5}$ .

$\frac{x}{2} = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{5}{5} - \frac{π}{5}$

Этап 1.2.10.2.3

Чтобы записать $- \frac{π}{5}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x}{2} = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{5}{5} - \frac{π}{5} \cdot \frac{2}{2}$

Этап 1.2.10.2.4

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $10$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.10.2.4.1

Умножим $\frac{3 π}{2}$ на $\frac{5}{5}$ .

$\frac{x}{2} = \frac{3 π \cdot 5}{2 \cdot 5} - \frac{π}{5} \cdot \frac{2}{2}$

Этап 1.2.10.2.4.2

Умножим $2$ на $5$ .

$\frac{x}{2} = \frac{3 π \cdot 5}{10} - \frac{π}{5} \cdot \frac{2}{2}$

Этап 1.2.10.2.4.3

Умножим $\frac{π}{5}$ на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x}{2} = \frac{3 π \cdot 5}{10} - \frac{π \cdot 2}{5 \cdot 2}$

Этап 1.2.10.2.4.4

Умножим $5$ на $2$ .

$\frac{x}{2} = \frac{3 π \cdot 5}{10} - \frac{π \cdot 2}{10}$

Этап 1.2.10.2.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{x}{2} = \frac{3 π \cdot 5 - π \cdot 2}{10}$

Этап 1.2.10.2.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.10.2.6.1

Умножим $5$ на $3$ .

$\frac{x}{2} = \frac{15 π - π \cdot 2}{10}$

Этап 1.2.10.2.6.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{x}{2} = \frac{15 π - 2 π}{10}$

Этап 1.2.10.2.6.3

Вычтем $2 π$ из $15 π$ .

$\frac{x}{2} = \frac{13 π}{10}$

Этап 1.2.10.3

Умножим обе части уравнения на $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{13 π}{10}$

Этап 1.2.10.4

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.10.4.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.10.4.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.10.4.1.1.1

Сократим общий множитель.

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{13 π}{10}$

Этап 1.2.10.4.1.1.2

Перепишем это выражение.

$x = 2 \frac{13 π}{10}$

Этап 1.2.10.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.10.4.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.10.4.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $10$ .

$x = 2 \frac{13 π}{2 (5)}$

Этап 1.2.10.4.2.1.2

Сократим общий множитель.

$x = 2 \frac{13 π}{2 \cdot 5}$

Этап 1.2.10.4.2.1.3

Перепишем это выражение.

$x = \frac{13 π}{5}$

Этап 1.2.11

Найдем период $\cos (\frac{1}{2} x + \frac{π}{5})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.11.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 1.2.11.2

Заменим $b$ на $\frac{1}{2}$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| \frac{1}{2} |}$

Этап 1.2.11.3

$\frac{1}{2}$ приблизительно равно $0.5$ . Это положительное число, поэтому вычтем абсолютное значение.

$\frac{2 π}{\frac{1}{2}}$

Этап 1.2.11.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$2 π \cdot 2$

Этап 1.2.11.5

Умножим $2$ на $2$ .

$4 π$

Этап 1.2.12

Период функции $\cos (\frac{1}{2} x + \frac{π}{5})$ равен $4 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $4 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{3 π}{5} + 4 π n, \frac{13 π}{5} + 4 π n$ , для любого целого $n$

Этап 1.2.13

Объединим ответы.

$x = \frac{3 π}{5} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 1.3

Точки пересечения с осью x в форме точки.

Точки пересечения с осью x: $(\frac{3 π}{5} + 2 π n, 0)$ , для любого целого $n$

Этап 2

Найдем точку пересечения с осью Y.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы найти точки пересечения с осью y, подставим $0$ вместо $x$ и найдем решение для $y$ .

$y = - \cos (\frac{1}{2} \cdot (0) + \frac{π}{5})$

Этап 2.2

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $0$ .

$y = - \cos (\frac{1}{2} \cdot 0 + \frac{π}{5})$

Этап 2.2.2

Избавимся от скобок.

$y = - \cos (\frac{1}{2} \cdot (0) + \frac{π}{5})$

Этап 2.2.3

Упростим $- \cos (\frac{1}{2} \cdot (0) + \frac{π}{5})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $0$ .

$y = - \cos (0 + \frac{π}{5})$

Этап 2.2.3.2

Добавим $0$ и $\frac{π}{5}$ .

$y = - \cos (\frac{π}{5})$

Этап 2.2.3.3

Найдем значение $\cos (\frac{π}{5})$ .

$y = - 1 \cdot 0.80901699$

Этап 2.2.3.4

Умножим $- 1$ на $0.80901699$ .

$y = - 0.80901699$

Этап 2.3

Точки пересечения с осью y в форме точки.

Точки пересечения с осью y: $(0, - 0.80901699)$

Этап 3

Перечислим пересечения.

Точки пересечения с осью x: $(\frac{3 π}{5} + 2 π n, 0)$ , для любого целого $n$

Точки пересечения с осью y: $(0, - 0.80901699)$

Этап 4